Ülesanne 7 (15p)

Kaks keha liikusid sirgjooneliselt.
1.Esimese keha poolt iga sekundi jooksul läbitud teepikkused moodustasid aritmeetilise jada. Esimese sekundiga läbis keha avaldis ja kolmanda sekundi lõpuks oli tal läbitud avaldis pikkune teelõik. Leidke vahemaa, mille esimene keha läbis likumise neljandal sekundil.
2.Teine keha läbis teisest sekundist alates igas sekundis sama arv korda pikema teelõigu, kui eelmises sekundis. Esimese kolme sekundiga läbis keha avaldis, neljanda sekundiga aga avaldis võrra pikema teelõigu kui esimese sekundiga. Leidke aeg, mis kulus teisel kehal avaldis läbimiseks.

Vaata lahendust
1. Leian vahemaa, mille esimene keha läbis likumise neljandal sekundil

Esimesel sekundil läbis esimene keha avaldis.
Teisel sekundil läbis esimene keha avaldis.
Kolmandal sekundil läbis esimene keha avaldis.

Selgitus
Esimese keha esimesel sekundil läbitud teepikkus avaldis on ülesandes antud.Kuna igal järgmisel sekundil läbitud teepikkused moodustavad aritmeetilise jada, siis igal järgneval sekundil läbitud teepikkus on sama arvu avaldis võrra pikem.

Teisendan kolmanda sekundi lõpus läbitud teepikkuse millimeetriteks

avaldis
Selgitus
avaldis

Kuna kolmanda sekundi lõpuks oli esimesel kehal läbitud avaldis teelõik, saan võrrandi:

avaldis
Selgitus
Esimesel, teisel ja kolmandal sekundil läbitud teepikkuste summa on võrdne kolmanda sekundi lõpuks läbitud teepikkusega.
avaldis
Selgitus
Kui sulu ees on + märk, võib sulud lihtsalt ära võtta.
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.

Leian esimese keha neljandal sekundil läbitud vahemaa (aritmeetilise jada neljanda liikme)

avaldis
Selgitus

Aritmeetilise jada üldliikme valem

avaldis

avaldis on jada üldliige järjekorra numbriga avaldis
avaldis on jada esimene liige
avaldis on aritmeetilise jada vahe
avaldis on jada liikme järjekorra number.

Näide

Leia aritmeetilise jada avaldis viiekümnes liige.

avaldis
avaldis

Vastus: Esimene keha läbis neljandal sekundil avaldis.

2. Leian aja, mis kulub teisel kehal 205,9cm läbimiseks

Esimesel sekundil läbis teine keha avaldis, teisel sekundil läbis teine keha avaldis, kolmandal sekundil läbis teine keha avaldis ja neljandal sekundil läbis teine keha avaldis.

Selgitus
Teise keha esimesel sekundil läbitud teepikkuse tähistan tundmatuga avaldis.Kuna igal järgmisel sekundil läbitud teepikkused moodustavad geomeetrilise jada, siis igal järgneval sekundil läbitud teepikkus on sama arvu avaldis kordselt pikem.

Kuna kolme esimese sekundiga läbis teine keha avaldis, siis saan võrrandi:

avaldis
Selgitus
Esimesel, teisel ja kolmandal sekundil läbitud teepikkuste summa on võrdne kolmanda sekundi lõpuks läbitud teepikkusega.

Teisendan teise keha poolt läbitud neljandal ja esimesel sekundil läbitud teepikkuste vahe avaldis millimeetriteks

avaldis
Selgitus
avaldis

Kuna neljanda sekundiga läbib teine keha avaldis rohkem, kui esimesel sekundil, saan võrrandi:

avaldis
Selgitus
Kui neljandal sekundil läbitud teepikkusest lahutada esimesel sekundil läbitud teepikkus, siis saame tulemuseks nende teepikkuste erinevuse.

Moodustan kahest leitud võrrandist võrrandisüsteemi:

avaldis

Avaldan teisest võrrandist tundmatu avaldis

avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi tundmatuga avaldis.Tundmatuga võib võrrandi pooli läbi jagada vaid juhul, kui õnnestub veenduda, et võrrandi pooli ei jagata läbi arvuga avaldis.Kui avaldis, siis avaldis, kuid sel juhul oleks tegemist konstantse geomeetrilise jadaga, kus igal sekundil läbiti täpselt sama teepikkus.
avaldis
Selgitus
Asendasin võrrandisüsteemi teisest võrrandist avaldatud tundmatu avaldis võrrandisüsteemi esimesse võrrandisse.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib korrutada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi korrutades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul korrutasin võrrandi pooli läbi tundmatuga avaldis.Tundmatuga võib võrrandi pooli läbi korrutada vaid juhul, kui õnnestub veenduda, et võrrandi pooli ei korrutata läbi arvuga avaldis.Kui avaldis, siis avaldis, kuid sel juhul oleks tegemist konstantse geomeetrilise jadaga, kus igal sekundil läbiti täpselt sama teepikkus.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Liikmete järjekorra muutmine

Liikmete järjekorda võib hulkliikmes muuta, kui iga liikme ette jääb sama märk.

Näide

Hulkliige avaldis on samaväärne hulkliikmega avaldis.

avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Leian võrrandi lahendeid kahest järgmisest võrrandist:

avaldis
avaldis
Selgitus

Võrrandi ab=0 lahendamine

avaldis

Näide

avaldis

Antud võrrandit võib lahendada kahe järgmise võrrandi eraldi lahendamise teel.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Ruutjuurt ei saa võtta negatiivsest arvust. Kui ruutvõrrandi lahendivalemis tuleb arvutamise käigus ruutjuure alla negatiivne arv, siis ruutvõrrandil lahendid puuduvad.

Järelikult on antud geomeetrilisel jadal vaid üks võimalik avaldis väärtus:

avaldis
Selgitus
Kuna antud võrrandi lahendamiseks oli vaja lahendada avaldis võrrandit, kuid teine võrrand lahendeid juurde ei andnud, siis sel juhul esimesest võrrandist saadud lahend ongi antud võrrandi ainus lahend.

Leian võrrandisüsteemi teise tundmatu avaldis

avaldis
Selgitus
Asendasin leitud avaldis väärtuse võrrandisüsteemi teisest võrrandist avaldatud tundmatu avaldis arvutamise valemisse.

Teisendan teise keha poolt läbitud teepikkuse avaldis millimeetriteks

avaldis
Selgitus
avaldis

Leian sekundite arvu avaldis, mis kulus teisel kehal avaldis läbimiseks

avaldis
Selgitus

Geomeetrilise jada esimese n-liikme summa valem

avaldis

avaldis on jada esimese avaldis liikme summa
avaldis on jada esimene liige
avaldis on jada tegur
avaldis on jada liikme järjekorra number.

Näide

Leia geomeetrilise jada avaldis kümne esimese liikme summa.

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus

Antud võrrandi lahendi leidsin järjestikuste naturaalarvude (avaldis; avaldis; avaldis;....) proovimise teel:

avaldis

Vastus: Teisel kehal kulus avaldis läbimiseks avaldis sekundit.