Ülesanne 8 (15p)

1) On antud funktsioon avaldis, kus avaldis, avaldis ja avaldis on reaalarvud. Leidke kordajate avaldis, avaldis ja avaldis väärtused nii, et funktsiooni avaldis graafik läbib punkti avaldis ning graafiku puutujaks selles punktis on sirge avaldis. Kontrollige saadud tulemusi.
2) Leidke funktsiooni avaldis suurim ja vähim väärtus lõigul avaldis.

Vaata lahendust
1. Leian kordajate avaldis, avaldis ja avaldis väärtused nii, et funktsiooni avaldis graafik läbib punkti avaldis ning graafiku puutujaks selles punktis on sirge avaldis. Kontrollin saadud tulemusi.

Kuna funktsiooni avaldis graafik läib punkti avaldis, saan võrrandi:

avaldis
Selgitus
Asendasin punkti avaldis koordinaadi ehk arvu avaldis funktsiooni avaldis argumendi avaldis asemele ning avaldis koordinaadi ehk arvu avaldis muutuja avaldis ehk avaldis asemele. Lisaks vahetasin võrrandi pooled.
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus
Kokkuleppeliselt:
avaldis
Järelikult logaritmi definitsiooni põhjal:
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis

Kuna punkt avaldis asub ka joone puutujal avaldis, saan võrrandi:

avaldis
Selgitus
Asendasin punkti avaldis koordinaadi ehk arvu avaldis puutuja võrrandis argumendi avaldis asemele ning avaldis koordinaadi ehk arvu avaldis muutuja avaldis asemele. Lisaks vahetasin võrrandi pooled.
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
avaldis

Leian kordaja avaldis

avaldis
Selgitus
Asendasin just leitud kordaja avaldis eelnevalt leitud võrrandisse.
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
avaldis

Leian funktsiooni avaldis tuletise

avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Leian funktsiooni avaldis puutuja tõusu puutepunktis

avaldis
Selgitus

Joone y=f(x) puutuja tõusu leidmine

Valem

avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis tõus kohal avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis

Leian puutuja avaldis tõusu

avaldis
Selgitus

Sirge tõusu leidmine, kui on teada sirge võrrand

Kui sirge võrrand on kujul avaldis, siis sirge tõus on lineaarliikme avaldis kordaja:

avaldis

Näide

Leia sirge avaldis tõus.

avaldis
avaldis
avaldis

Kuna kahel erineval moel leitud tõusud võib lugeda võrdseks, saan võrrandi:

avaldis
Selgitus
Võrdsustasin joone puutuja tõusu valemi abil leitud seose ja sirge võrrandilt loetud sirge tõusu.

Leian kordaja avaldis

avaldis
Selgitus
Asendasin eelnevalt leitud kordaja avaldis just leitud võrrandisse.
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
avaldis

Funktsiooni avaldis kuju määratud kordajatega avaldis, avaldis ja avaldis on:

avaldis
Selgitus
Asendasin leitud kordajad avaldis, avaldis ja avaldis funktsiooni üldkujusse:
avaldis

Funktsiooni avaldis puutuja võrrandi kuju määratud kordajaga avaldis on:

avaldis
Selgitus
Asendasin leitud kordaja avaldis funktsiooni avaldis puutuja üldkujusse:

Kontrollin, kas funktsiooni avaldis puutuja võrrand on avaldis

Leian määratud kordajatega funktsiooni avaldis tuletise

avaldis
Selgitus

Leian määratud kordajatega funktsiooni avaldis tõusu puutepunktis avaldis

avaldis
Selgitus

Joone y=f(x) puutuja tõusu leidmine

Valem

avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis tõus kohal avaldis.

avaldis
avaldis

Leian määratud kordajatega funktsiooni avaldis puutuja võrrandi puutepunktis avaldis

avaldis
Selgitus

Sirge võrrand ühe punkti ja sirge tõusu abil

Kui sirge läbib punkti avaldis ja tema tõus on avaldis, siis selle sirge võrrand on kujul:

avaldis

Näide

Leia sirge võrrand, kui ta läbib punkti avaldis ja tema tõus on avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
avaldis

Kontrollimiseks esitatud väide on tõene.

Vastus: avaldis, avaldis ja avaldis.

2. Leian funktsiooni avaldis suurima ja vähima väärtuse etteantud lõigul.

Leian funktsiooni avaldis tuletise

avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Leian funktsiooni avaldis ekstreemumid

avaldis
Selgitus

Ekstreemumid

avaldis

avaldis
avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis miinimumpunkti ja maksimumpunkti koordinaadid.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian ekstreemumpunktide avaldis koordinaadid.

avaldis
avaldis

Vastus:avaldis ja avaldis

avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib korrutada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi korrutades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul korrutasin võrrandi pooli läbi tundmatuga avaldis.Tundmatuga võib võrrandi pooli läbi korrutada vaid siis, kui on kindel, et võrrandi pooli ei korrutata läbi arvuga avaldis.Võrrandisse arvu avaldis asendades on näha, et see pole antud võrrandi lahend.
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus

Kuna avaldis ei ole funktsiooni avaldis määramispiirkonnas (logaritmi ei saa võtta negatiivsest arvust), siis on funktsiooni ainus ekstreemum kohal avaldis.

Selgitus

Elementaarfunktsioonide määramispiirkonnad

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Antud juhul on n paarisarv.

avaldis

Antud juhul on n paaritu arv.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

n on suvaline täisarv.

avaldis

n on suvaline täisarv.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian funktsiooni väärtuse ekstreemumpunktis avaldis

avaldis
Selgitus
Asendasin ekstreemumpunkti avaldis väärtuse avaldis funktsiooni avaldis.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis

Leian funktsiooni avaldis väärtuse esimeses rajapunktis, mille avaldis väärtus on avaldis

avaldis
Selgitus
Asendasin avaldis väärtuse avaldis funktsiooni avaldis.
avaldis
Selgitus
Kokkuleppeliselt:
avaldis
Järelikult logaritmi definitsiooni põhjal:
avaldis

Leian funktsiooni avaldis väärtuse teises rajapunktis, mille avaldis väärtus on avaldis

avaldis
Selgitus
Asendasin avaldis väärtuse avaldis funktsiooni avaldis.
avaldis
Selgitus
Kokkuleppeliselt:
avaldis
Järelikult:
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis

Vastus: Funktsiooni avaldis suurim väärtus lõigul avaldis on avaldis ja vähim väärtus on avaldis.

Selgitus
Funktsiooni suurim ja vähim väärtus etteantud lõigul saab olla vaid ekstreemumpunktis või rajapunktis.Kolme võimaliku väärtuse hulgast tuleb välja valida kõige suurem ja kõige väiksem:
avaldis
avaldis
avaldis