Ülesanne 9 (20p)

Silindris on risttahukas avaldis (vt. joonist). Risttahuka pikem põhiserv on avaldis ja põhitahu diagonaalide vaheline teravnurk on avaldis. Risttahuka diagonaal moodustab külgtahuga, mille pindala on väiksem , nurga avaldis.
1) Avaldage silindri külgpindala avaldis, avaldis ja avaldis kaudu.
2) Näidake, et avaldis , avaldis ja avaldis korral on silindri külgpindala avaldis.

Silindrisse konstrueeritud risttahukas

Silindrisse konstrueeritud risttahukas

Vaata lahendust
1. Avaldan silindri külgpindala risttahuka põhiserva avaldis, põhitahu diagonaalide vahelise teravnurga avaldis ning risttahuka diagonaali ja väiksema külgtahu vahelise nurga avaldis kaudu

Teen joonise risttahuka põhitahust

Risttahuka põhitahk

Risttahuka põhitahk

Selgitus
Risttahuka põhiserv pikkusega avaldis on ülesandes antud.Risttahuka diagonaalide vaheline teravnurk avaldis on samuti ülesandes antud.Risttahuka diagonaalide vaheline nürinurk on saadud sirgnurst, ehk nurgast väärtusega avaldis diagonaalide vahelise teravnurga avaldis maha lahutamise teel.

Poolitan kolmnurga risttauhuka põhitahul, mille üks külg avaldis ja tipunurk on avaldis

Risttahuka põhitahu lõige

Risttahuka põhitahu lõige

Selgitus
Kuna tekkinud täisnurkse kolmnurga alumine kaatet on pool pikemast põhiservast avaldis, siis on selle kaateti pikkus avaldis.Tekkinud täisnurkse kolmnurga ülemise kaateti tähistasin tundmatuga avaldis, mis on ka pool risttahuka põhitahu lühemast servast.Täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi tähistasin tundmatuga avaldis, mis ühtib ka silindri põhja raadiusega.Kuna tipunurk on pool eelmise kolmnurga tipunurgast avaldis, siis täisnurkse kolmnurga tipunurk on väärtusega avaldis.

Leian silindri põhja raadiuse avaldis

avaldis
Selgitus

Külgede ja nurkade vahelised trigonomeetrilised seosed

Täisnurkne kolmnurk

Täisnurkne kolmnurk

avaldis

Näited

1) Täisnurkse kolmnurga üks teravnurkadest on avaldis ja hüpotenuus on avaldis. Leia selle teravnurga vastaskaatet.

avaldis
avaldis

2) Leia täisnurkse kolmnurga teravnurk (täpsusega avaldis), kui tema vastaskaatet on avaldis ja lähiskaatet on avaldis.

avaldis
avaldis

Kui avaldis on välja arvutatud, siis avaldis leidmiseks tuleb kalkulaatoril vajutada järgmine klahvikombinatsioon:

avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
Kui kehtib seos avaldis, siis kehtib ka seos avaldis.
avaldis
Selgitus
Kui kehtib seos avaldis, siis kehtib ka seos avaldis.

Leian pool risttauhuka põhitahu lühemast servast, mille tähistasin tundmatuga avaldis

avaldis
Selgitus

Külgede ja nurkade vahelised trigonomeetrilised seosed

Täisnurkne kolmnurk

Täisnurkne kolmnurk

avaldis

Näited

1) Täisnurkse kolmnurga üks teravnurkadest on avaldis ja hüpotenuus on avaldis. Leia selle teravnurga vastaskaatet.

avaldis
avaldis

2) Leia täisnurkse kolmnurga teravnurk (täpsusega avaldis), kui tema vastaskaatet on avaldis ja lähiskaatet on avaldis.

avaldis
avaldis

Kui avaldis on välja arvutatud, siis avaldis leidmiseks tuleb kalkulaatoril vajutada järgmine klahvikombinatsioon:

avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
Kui kehtib seos avaldis, siis kehtib ka seos avaldis.
avaldis
Selgitus
Kui kehtib seos avaldis, siis kehtib ka seos avaldis.

Leian risttahuka põhitahu lühema serva avaldis

avaldis
Selgitus
Kuna lõik avaldis on pool lühemast põhiservast avaldis, siis avaldis leidmiseks tuleb lõigu avaldis pikkus korrutada arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus
Asendasin leitud avaldis antud seosesse.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Teen joonise risttahuka külgtahust, mille pindala on väiksem

Risttahuka väiksem külgtahk

Risttahuka väiksem külgtahk

Selgitus
Risttahuka väiksema pindalaga külgtahu diagonaali tähistasin tundmatuga avaldis.Risttahuka väiksema pindalaga külgtahu lõik avaldis ühtib silindri kõrgusega ja antud joonisel on see tähistatud tundmatuga avaldis.Risttahuka väiksema pindalaga külgtahu vajaminev lõik avaldis on samuti eelnevalt ülesandes juba leitud.

Avaldan silindri kõrguse avaldis ruudu väiksema pindalaga külgtahu diagonaali avaldis ruudu kaudu

avaldis
Selgitus

Pythagorase teoreem

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

avaldis

Näited

1) Täisnurkse kolmnurga kaatetid on avaldis ja avaldis. Leia täisnurkse kolmnurga hüpotenuus.

avaldis
avaldis

2) Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on avaldis ja üks kaatetitest on avaldis. Leia täisnurkse kolmnurga teine kaatet.

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Teen joonise risttauhuka lõikest avaldis

Risttahuka lõige

Risttahuka lõige

Selgitus
Lõik avaldis on ka eelmisel lõikel kasutatud suurus avaldis.Lõik avaldis on risttahuka pikem põhiserv pikkusega avaldis.Nurk avaldis on risttahuka diagonaali ja külgtahu, mille pindala on väiksem, vaheline nurk.

Leian risttahuka väiksema külgtahu diagonaali avaldis

avaldis
Selgitus

Külgede ja nurkade vahelised trigonomeetrilised seosed

Täisnurkne kolmnurk

Täisnurkne kolmnurk

avaldis

Näited

1) Täisnurkse kolmnurga üks teravnurkadest on avaldis ja hüpotenuus on avaldis. Leia selle teravnurga vastaskaatet.

avaldis
avaldis

2) Leia täisnurkse kolmnurga teravnurk (täpsusega avaldis), kui tema vastaskaatet on avaldis ja lähiskaatet on avaldis.

avaldis
avaldis

Kui avaldis on välja arvutatud, siis avaldis leidmiseks tuleb kalkulaatoril vajutada järgmine klahvikombinatsioon:

avaldis
avaldis
Selgitus
Kui kehtib seos avaldis, siis kehtib ka seos avaldis.

Leian silindri kõrguse avaldis

avaldis
Selgitus
Asendasin leitud avaldis väärtuse eelnevalt leitud seosesse, kus on avaldatud suurus avaldis väiksema külgatahu diagonaali kaudu.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Kokkuvõttes olen saanud järgmise seose:

avaldis
Selgitus
Eelmise võrduseahela algus ja lõpp.
avaldis
Selgitus
Võtsin võrduse mõlemast poolest ruutjuure.
avaldis
Selgitus
Kasutasin mõlemat valemit paremalt vasakule.
avaldis
Selgitus

Leian silindri külgpindala

avaldis
Selgitus

Silinder

Silinder

Silinder

Kui silindri raadius on avaldis ja silindri kõrgus on avaldis, siis silindri põhja pindala avaldis, külgpindala avaldis, täispindala avaldis ja ruumala avaldis avalduvad järgmiste valemite abil:

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Näide

Silindri raadius on avaldis ja kõrgus avaldis. Leia Silindri täispindala ja ruumala.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

avaldis
Selgitus

Vastus: Silindri külgpindala avaldis, avaldis ja avaldis kaudu on avaldis.

2. Näitan, et avaldis , avaldis ja avaldis korral on silindri külgpindala avaldis
avaldis
Selgitus
Asendasin ülesandes antud suurused avaldis, avaldis ja avaldis eelmises alajoaotuses leitud silindri külgpindala valemisse.
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
Arvu teisendamisel murruks tuleb arvule murrujoon ja arv avaldis alla kirjutada.Murrujoone võib asendada jagamismärgiga.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Vastus: Näitasin, et silindri külgpindala antud avaldis, avaldis ja avaldis korral on avaldis (nagu ülesandes oli ette antud).