Ülesanne 2 (10p)

Kastis on avaldis punase, avaldis roosa ja avaldis kollase gladiooli sibulat.
1. Kastist võeti avaldis juhuslik sibul ja istutati peenrasse. Kui suur on tõenäosus, et istutati kollase gladiooli sibul?
2. Kastist võeti korraga avaldis juhuslikku sibulat ja istutati peenrasse. Kui suur on tõenäosus, et:
1) kõik istutatud sibulad on erinevat värvi;
2) istutati avaldis kollase ja avaldis punase gladiooli sibulat;
3) vähemalt avaldis istutatud sibulat olid roosa gladiooli sibulad?

Vaata lahendust
1. Leian tõenäosuse, et juhuslikult peenrasse istutatud avaldis sibul on kollase gladiooli sibul
avaldis
Selgitus

Sündmuse A klassikaline tõenäosus

Sündmuse avaldis tõenäouseks nimetetakse sündmusele avaldis soodsate võimaluste arvu avaldis ja kõigi võimaluste arvu avaldis jagatist:

avaldis

Näide

Urnis on avaldis musta ja avaldis valget kuuli. Leia musta kuuli tulemise tõenäosus.

Olgu sündmus avaldis musta kuuli tulek. Musti kuule on avaldis, järelikult avaldis ning kokku on kuule avaldis, järelikult avaldis. Musta kuuli tulemise tõenäosus on järelikult:

avaldis

Vastus: Tõenäosus, et juhuslikult peenrasse istutatud sibul on kollase gladiooli sibul on avaldis.

2.1. Leian tõenäosuse, et juhuslikult peenrasse istutatud avaldis sibulast on kõik erinevat värvi
avaldis
Selgitus
Kui kastis on avaldis erinevat värvi gladiooli sibulat, siis avaldis peenrasse istutatud sibulat ei saa kõik olla erinevat värvi, järelikult on tegemist võimatu sündmusega.Võimatu sündmuse tõenäosus on avaldis.

Vastus: Tõenäosus, et juhuslikult peenrasse istutatud avaldis sibulast on kõik erinevat värvi on avaldis.

2.2. Leian tõenäosuse, et juhuslikult peenrasse istutatud avaldis sibulast on avaldis kollase ja avaldis punase gladiooli sibulat

Leian erinevate järjestuste arvu avaldis kollase ja avaldis punase gladiooli sibula võtmiseks

avaldis
Selgitus

Kombinatsioonid

Kombinatsioonideks avaldis elemendist avaldis kaupa nimetatakse avaldis elemendilise hulga avaldis elemendilisi järjestamata osahulkade arvu.

avaldis

Näide

Loto peavõit võidetakse juhul, kui loosimises osaleb avaldis palli ja pihta peavad minema kõik loositud avaldis palli. Mitu piletit peaks ostma, et võidaksid kindlasti peavõidu?

Kuna kokku on avaldis palli, siis vaadeldakse avaldis elemendilist hulka, järelikult avaldis ja kuna loositakse avaldis palli, siis tuleb välja arvutada avaldis elemendiliste osahulkade arv, järelikult avaldis. Kuna numbrite tulemise järjekord pole oluline, arvutatakse antud osahulkade arv kombinatsioonide abil.

avaldis
avaldis


Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Leian tõenäosuse, et avaldis peenrasse istutatud sibulast on avaldis kollase ja avaldis punase gladiooli sibulat

avaldis
Selgitus

Sündmuse A klassikaline tõenäosus

Sündmuse avaldis tõenäouseks nimetetakse sündmusele avaldis soodsate võimaluste arvu avaldis ja kõigi võimaluste arvu avaldis jagatist:

avaldis

Näide

Urnis on avaldis musta ja avaldis valget kuuli. Leia musta kuuli tulemise tõenäosus.

Olgu sündmus avaldis musta kuuli tulek. Musti kuule on avaldis, järelikult avaldis ning kokku on kuule avaldis, järelikult avaldis. Musta kuuli tulemise tõenäosus on järelikult:

avaldis

Tõenäosuste korrutamise reegel

Kui esimese sündmuse tõenäosus on avaldis ja teise sündmuse tõenäosus on avaldis, siis esimese ja teise sündmuse toimumise tõenäosus on avaldis.

Näide

Urnis on avaldis musta ja avaldis valget palli. Leia tõenäosus, et kahest võetud pallist on mõlemad valged.

Esimesena valge palli võtmise tõenäosus on:

avaldis

Teise valge palli tõenäosus arvestades, et eelmist tagasi ei panda, on:

avaldis

Siis esimesena ja teisena valge palli võtmise tõenäosus on:

avaldis

Tõenäosuste liitmise reegel, kui sündmused on teineteist välistavad

Kui esimese sündmuse tõenäosus on avaldis ja esimest sündmust välistava sündmuse tõenäosus on avaldis, siis esimese sündmuse või teise sündmuse toimumise tõenäosus on:

avaldis

Näide

Leia tõenäosus, et täringu viskamisel tuleb avaldis või avaldis silma.

Tõenäosus, et tuleb avaldis silma on:

avaldis

Tõenäosus, et tuleb avaldis silma on:

avaldis

avaldis või avaldis silma tulemise tõenäosus on:

avaldis
Antud reeglite põhjal oleks lahendus järgmine:

Leian tõenäosuse, et peenrasse istutatud avaldis gladiooli sibula hulgas olid kaks esimest kollast ja kaks viimast punast gladiooli sibulat

avaldis

Leian tõenäosuse, et peenrasse istutatud avaldis gladiooli sibula hulgas oli esimene kollane, teine punane, kolmas kollane ja viimane punane gladiooli sibul

avaldis

Leian tõenäosuse, et peenrasse istutatud avaldis gladiooli sibula hulgas oli esimene kollane, teine ja kolmas punane ja viimane kollane gladiooli sibul

avaldis

Leian tõenäosuse, et peenrasse istutatud avaldis gladiooli sibula hulgas oli esimene punane, teine ja kolmas kollane ja viimane punane gladiooli sibul

avaldis

Leian tõenäosuse, et peenrasse istutatud avaldis gladiooli sibula hulgas oli esimene kollane, teine punane, kolmas kollane ja viimane punane gladiooli sibul

avaldis

Leian tõenäosuse, et peenrasse istutatud avaldis gladiooli sibula hulgas olid kaks esimest punast ja kaks viimast kollast gladiooli sibulat

avaldis

Leian tõenäosuse, et peenrasse istutatud avaldis gladiooli sibula hulgas olid kaks kollast ja kaks punast gladiooli sibulat

avaldis

Kuna mitmest sündmusest moodustunud sündmuse tõenäosus, kui sündmused toimuvad erinevas järjekorras on alati võrdsed, saab antud tõenäosuse välja arvutada ka ühe tehtega:

avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Vastus: Tõenäosus, et avaldis peenrasse istutatud gladiooli sibulast on avaldis kollase ja avaldis punase gladiooli sibulat on avaldis.

2.3. Leian tõenäosuse, et juhuslikult peenrasse istutatud avaldis sibulast on vähemalt avaldis roosa gladiooli sibulat

Leian tõenäosuse, et avaldis peenrasse istutatud sibulast on avaldis roosa gladiooli sibulat

avaldis
Selgitus

Sündmuse A klassikaline tõenäosus

Sündmuse avaldis tõenäouseks nimetetakse sündmusele avaldis soodsate võimaluste arvu avaldis ja kõigi võimaluste arvu avaldis jagatist:

avaldis

Näide

Urnis on avaldis musta ja avaldis valget kuuli. Leia musta kuuli tulemise tõenäosus.

Olgu sündmus avaldis musta kuuli tulek. Musti kuule on avaldis, järelikult avaldis ning kokku on kuule avaldis, järelikult avaldis. Musta kuuli tulemise tõenäosus on järelikult:

avaldis

Tõenäosuste korrutamise reegel

Kui esimese sündmuse tõenäosus on avaldis ja teise sündmuse tõenäosus on avaldis, siis esimese ja teise sündmuse toimumise tõenäosus on avaldis.

Näide

Urnis on avaldis musta ja avaldis valget palli. Leia tõenäosus, et kahest võetud pallist on mõlemad valged.

Esimesena valge palli võtmise tõenäosus on:

avaldis

Teise valge palli tõenäosus arvestades, et eelmist tagasi ei panda, on:

avaldis

Siis esimesena ja teisena valge palli võtmise tõenäosus on:

avaldis

Tõenäosuste liitmise reegel, kui sündmused on teineteist välistavad

Kui esimese sündmuse tõenäosus on avaldis ja esimest sündmust välistava sündmuse tõenäosus on avaldis, siis esimese sündmuse või teise sündmuse toimumise tõenäosus on:

avaldis

Näide

Leia tõenäosus, et täringu viskamisel tuleb avaldis või avaldis silma.

Tõenäosus, et tuleb avaldis silma on:

avaldis

Tõenäosus, et tuleb avaldis silma on:

avaldis

avaldis või avaldis silma tulemise tõenäosus on:

avaldis
Antud reeglite põhjal oleks lahendus järgmine:

Leian tõenäosuse, et peenrasse istutatud avaldis gladiooli sibula hulgas olid kolm esimest roosad ja viimane mitte roosa gladiooli sibul

avaldis

Leian tõenäosuse, et peenrasse istutatud avaldis gladiooli sibula hulgas olid kaks esimest roosad, kolmas mitte roosa ja viimane roosa gladiooli sibul

avaldis

Leian tõenäosuse, et peenrasse istutatud avaldis gladiooli sibula hulgas olid esimene roosa, teine mitte roosa ja kaks viimast roosa gladiooli sibulat

avaldis

Leian tõenäosuse, et peenrasse istutatud avaldis gladiooli sibula hulgas oli esimene mitte roosa ja kolm viimast roosa gladiooli sibulat

avaldis

Leian tõenäosuse, et peenrasse istutatud avaldis gladiooli sibula hulgas olid kolm roosad ja üks mitte roosa gladiooli sibul

avaldis

Kuna mitmest sündmusest moodustunud sündmuse tõenäosus, kui sündmused toimuvad erinevas järjekorras on alati võrdsed, saab antud tõenäosuse välja arvutada ka ühe tehtega:

avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Leian tõenäosuse, et avaldis peenrasse istutatud sibulast on avaldis roosa gladiooli sibulat

avaldis
Selgitus

Sündmuse A klassikaline tõenäosus

Sündmuse avaldis tõenäouseks nimetetakse sündmusele avaldis soodsate võimaluste arvu avaldis ja kõigi võimaluste arvu avaldis jagatist:

avaldis

Näide

Urnis on avaldis musta ja avaldis valget kuuli. Leia musta kuuli tulemise tõenäosus.

Olgu sündmus avaldis musta kuuli tulek. Musti kuule on avaldis, järelikult avaldis ning kokku on kuule avaldis, järelikult avaldis. Musta kuuli tulemise tõenäosus on järelikult:

avaldis

Tõenäosuste korrutamise reegel

Kui esimese sündmuse tõenäosus on avaldis ja teise sündmuse tõenäosus on avaldis, siis esimese ja teise sündmuse toimumise tõenäosus on avaldis.

Näide

Urnis on avaldis musta ja avaldis valget palli. Leia tõenäosus, et kahest võetud pallist on mõlemad valged.

Esimesena valge palli võtmise tõenäosus on:

avaldis

Teise valge palli tõenäosus arvestades, et eelmist tagasi ei panda, on:

avaldis

Siis esimesena ja teisena valge palli võtmise tõenäosus on:

avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Leian tõenäosuse, et avaldis peenrasse istutatud sibulast on vähemalt avaldis roosa gladiooli sibulat

avaldis
Selgitus

Tõenäosuste liitmise reegel, kui sündmused on teineteist välistavad

Kui esimese sündmuse tõenäosus on avaldis ja esimest sündmust välistava sündmuse tõenäosus on avaldis, siis esimese sündmuse või teise sündmuse toimumise tõenäosus on:

avaldis

Näide

Leia tõenäosus, et täringu viskamisel tuleb avaldis või avaldis silma.

Tõenäosus, et tuleb avaldis silma on:

avaldis

Tõenäosus, et tuleb avaldis silma on:

avaldis

avaldis või avaldis silma tulemise tõenäosus on:

avaldis
avaldis
Selgitus

Vastus: Tõenäosus, et avaldis juhuslikult peenrasse istutatud gladiooli sibulast olid vähemalt avaldis roosad gladiooli sibulad on avaldis.