Ülesanne 3 (10p)

On antud funktsioon avaldis.
1. Arvutage funktsiooni avaldis ekstreemumpunktide koordinaadid ja määrake nende liik.
2. Leidke funktsiooni avaldis kasvamisvahemikud.
3. Joonestage funktsiooni avaldis graafik lõigul avaldis.

Vaata lahendust
1. Arvutan funktsiooni avaldis ekstreemumpunktide koordinaadid ja määran nende liigi

Leian funktsiooni avaldis tuletise

avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Ekstreemumid

avaldis

avaldis
avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis miinimumpunkti ja maksimumpunkti koordinaadid.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian ekstreemumpunktide avaldis koordinaadid.

avaldis
avaldis

Vastus:avaldis ja avaldis

avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus

Antud juhul on võimalik võrrandi lahendeid leida kahest järgmisest võrrandist:

avaldis
avaldis
Selgitus

Võrrandi ab=0 lahendamine

avaldis

Näide

avaldis

Antud võrrandit võib lahendada kahe järgmise võrrandi eraldi lahendamise teel.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Pole midagi lahendada, võrrandi esimene lahend on leitud.
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Leian ekstreemumpunktide avaldis koordinaadid

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Kui punkti avaldis koordinaat on teada, siis avaldis koordinaadi arvutamiseks tuleb punkti avaldis koordinaat asendada algsesse funktsiooni.

Leian funktsiooni avaldis teise tuletise

avaldis
Selgitus

Määran ekstreemumite liigid

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Ekstreemumid

avaldis

avaldis
avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis miinimumpunkti ja maksimumpunkti koordinaadid.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian ekstreemumpunktide avaldis koordinaadid.

avaldis
avaldis

Vastus:avaldis ja avaldis

Vastus: Funktsiooni avaldis miinimumpunktid on avaldis ja avaldis ning maksimumpunkt on avaldis.

Selgitus
Punkti avaldis koordinaat on esimesel ja punkti avaldis koordinaat on teisel kohal.
2. Leian funktsiooni avaldis kasvamisvahemikud

Leian funktsiooni avaldis tuletise

avaldis
Selgitus
Eelnevalt ülesandes leitud.
avaldis
Selgitus

Kasvamispiirkond

avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis kasvamispiirkond.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus:avaldis

Leian tuletisfunktsiooni nullkohad

avaldis
Selgitus
Võrratuse nullkohtade leidmiseks asendatakse võrratuse märk võrdusmärgiga.
avaldis
Selgitus
Eelnevalt ülesandes leitud.
Joonis 16

Joonis 16

Selgitus
Kui nullkohad on leitud, siis antud joonis tehakse järgmiste põhimõtete järgi:

1) Kantakse nullkohad kasvavas järjekorras arvteljele.
2) Valitakse suvaline piirkond ja kontrollitakse suvalise arvuga, sellest piirkonnast, kas selles piirkonnas on funktsiooni väärtus positiivne või negatiivne. Vastavalt sellele tõmmatakse joon kas alla või ülespoole telge.
3) Seejärel veetakse joon nullkohani ja sõltuvalt sellest kas antud nullkoht on paaris- või paaritu arvulise kordsusega, põrgatakse nullkohast tagasi või läbitakse telg, kuni kõik nullkohad on läbitud.

Antud ülesandes teen joonis tehakse järgmiste põhimõtete järgi:

1) Kannane nullkohad avaldis, avaldis ja avaldis kasvavas järjekorras arvteljele.
2) Vaatlen kõige parempoolset piirkonda, kontrollides arvuga avaldis, kas seal piirkonnas on funktsioon positiivne või negatiivne.

avaldis

Järelikult hakkan joont vedama ülevalt poolt telge.
3) Kuna kõik lahendid on ühekordsed, ehk paarituarvulised, siis joon läbib kõiki nullkohti.

Vastus: Funktsiooni avaldis kasvamispiirkond on avaldis.

Selgitus
Lugesin vastuse järgmise põhimõtte alusel:

1)Teljest ülevalpool asuvad punktid on positiivsed (suurem nullist).
2)Telje peal asuvad punktid on võrdsed nulliga.
3)Allpool asuvad punktid on negatiivsed (väiksem nullist).

Kuna hetkel lahendan võrratust suurem nullist, siis lugesin vastusesse joone need punktid, mis asuvad üleval pool telge.
3. Joonestan funktsiooni avaldis graafiku etteantud lõigul

Funktsiooni avaldis väärtuste tabel

avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
4 astme funktsiooni graafik

4 astme funktsiooni graafik