Ülesanne 4 (10p)

Korrapärase kuusnurkse püramiidi avaldis külgpindala on avaldis ja põhja pindala on avaldis. Arvutage püramiidi kõrgus.

Korrapärane kuusnurkne püramiid nr. 1

Korrapärane kuusnurkne püramiid nr. 1

Vaata lahendust
Leian korrapärase kuusnurkse püramiidi avaldis põhiserva avaldis

Teen joonise püramiidi põhjast

Korrapärane kuusnurk

Korrapärane kuusnurk

Selgitus
Korrapärane kuusnurk koosneb kuuest võrdsest võrdkülgsest kolmnurgast, millest ühele kandsin peale korrapärase kuusnurkse põhiserva avaldis, mis ühtib ka põhjal oleva ühe kolmnurga alusega ja ka haaraga (tegemist on võrdkülgse kolmnurgaga).Lisaks tähistasin ühel kolmnurgal asuva kõrguse tundmatuga avaldis.

Lõikan põhjal olevast kolmnurgast välja täisnurkse kolmnurga, et leida seos avaldis ja avaldis vahel

Täisnurkne kolmnurk nr. 17

Täisnurkne kolmnurk nr. 17

Selgitus
Kuna võrdhaarse (järelikult ka võrdkülgse) kolmnurga kõrgus poolitab kolmnurga aluse, siis antud täisnurkse kolmnurga alumine kaatet on pool võrdkülgse kolmnurga pikkusest avaldis.
avaldis
Selgitus

Pythagorase teoreem

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

avaldis

Näited

1) Täisnurkse kolmnurga kaatetid on avaldis ja avaldis. Leia täisnurkse kolmnurga hüpotenuus.

avaldis
avaldis

2) Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on avaldis ja üks kaatetitest on avaldis. Leia täisnurkse kolmnurga teine kaatet.

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
Arvu teisendamisel murruks tuleb arvule murrujoon ja arv avaldis alla kirjutada.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Antud juhul kasutasin mõlemat valemit paremalt vasakule.

Teen joonise põhjal asuvast ühest kolmnurgast ja leian selle pindala

Kolmnurk nr. 5

Kolmnurk nr. 5

avaldis
Selgitus

Kolmnurk

Kolmnurk

Kolmnurk

Kui kolmnurga alus on avaldis ja temale tõmmatud kõrgus on avaldis, siis tema pindala arvutatakse järgmise valemiga:

avaldis

Näide

Kolmnurga alus on avaldis ja temale tõmmatud kõrgus on avaldis. Leia selle kolmnurga pindala.

avaldis
avaldis
Selgitus
Murrujoone võib asendada jagamismärgiga.
avaldis
Selgitus
Asendasin eelnevalt leitud avaldis antud pindala valemisse.Arvu teisendamisel murruks tuleb arvule murrujoon ja arv avaldis alla kirjutada.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Leian püramiidi põhja pindala põhiserva avaldis kaudu

avaldis
Selgitus
Kuna korrapärane kuusnurk koosneb kuuest võrdsest võrdkülgsest kolmnurgast, siis kogu kuusnurga pindala leidmiseks tuleb ühe kolmnurga pindala korrutada arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Leian püramiidi põhiserva avaldis

avaldis
Selgitus
Võrdsustasin just leitud püramiidi põhja pindala sõltuvalt tundmatust avaldis ja ülesandes antud püramiidi põhja pindala arvulise väärtuse.
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus

Kuna lahend avaldis on võõrlahend, siis on ainus sobiv püramiidi põhiserv:

avaldis
Selgitus
Püramiidi põhiserv ei saa olla negatiivne.

avaldis

Leian korrapärase kuusnurkse püramiidi avaldis apoteemi m

Teisendan külgpindala ühikutesse avaldis

avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus

Korrapärase püramiidi pindalad

Püramiid nr. 2

Püramiid nr. 2

Kui korrapärase avaldis nurkse püramiidi põhiserv on avaldis, moodustaja(lõik püramiidi tipust põhiserva keskpunkti) on avaldis ja põhja apoteem(lõik püramiidi põhja keskpunktist põhiserva keskpunkti) on avaldis, siis selle püramiidi külgpindala avaldis ja täispindala avaldis avalduvad järgmiste valemite abil:

avaldis
avaldis

Näide

Korrapärase nelinurkse püramiidi põhiserv on avaldis, moodustaja on avaldis, kõrgus on avaldis ja põhja apoteem avaldis. Leia püramiidi täispindala ja ruumala.

avaldis
avaldis
Antud juhul on tegemist korrapärase kuusnurkse püramiidiga, järelikult avaldis.Põhiserva pikkus avaldis on ülesandes eelnevalt leitud.Püramiidi apoteem avaldis on antud juhul tundmatu, mis on vaja saadud võrrandi lahendamise teel leida.Lisaks korrapärase püramiidi külgpindala valemi kasutamisele vahetasin ära ka valemis võrduse pooled.
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
SelgitusLeian korrapärase kuusnurkse püramiidi avaldis kõrguse avaldis

Leian püramiidi põhjal asuva kolmnurga kõrguse avaldis

avaldis
Selgitus

Asendasin leitud avaldis väärtuse avaldis eelnevalt leitud seosesse:

avaldis
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Täisnurkne kolmnurk nr. 18

Täisnurkne kolmnurk nr. 18

Selgitus
Otsitava püramiidi kõrguse tähistasin suurusega avaldis.Antud täisnurkse kolmnurga teine kaatet on püramiidi põhjal asuva kolmnurga kõrgus avaldis.Antud täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on püramiidi apoteem avaldis.
avaldis
Selgitus

Pythagorase teoreem

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

avaldis

Näited

1) Täisnurkse kolmnurga kaatetid on avaldis ja avaldis. Leia täisnurkse kolmnurga hüpotenuus.

avaldis
avaldis

2) Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on avaldis ja üks kaatetitest on avaldis. Leia täisnurkse kolmnurga teine kaatet.

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Asendasin eelnevalt leitud avaldis ja avaldis antud seosesse.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus

Vastus: Püramiidi kõrgus on avaldis.