Ülesanne 6 (15p)

Joonte avaldis ja avaldis lõikepunkt avaldis on rombi avaldis tipuks. Rombi diagonaali avaldis kirjeldab vektor avaldis. On teada, et rombi tipp avaldis asub y-teljel.
1. Arvutage rombi avaldis tippude koordinaadid ja koostage sirge võrrand, millel asub rombi diagonaal avaldis.
2. Arvutage rombi avaldis pindala.
3. Joonestage ühes koordinaatteljestikus funktsioonide avaldis ja avaldis graafikud ning romb avaldis.

Vaata lahendust
1. Arvutan rombi avaldis tippude koordinaadid ja koostan sirge võrrandi, millel asub rombi diagonaal avaldis

Leian rombi tipu avaldis

avaldis
Selgitus
Kuna rombi tipp avaldis asub joonte avaldis ja avaldis lõikepunktis, siis punkti avaldis leidmiseks tuleb ära lahendada nende joonte võrranditest moodustatud võrrandisüsteem (avaldis ja avaldis on funktsiooni tundmatuga avaldis sama tähendus).
avaldis
Selgitus
Kui võrrandisüsteemi vasakud pooled on võrdsed, peavad olema võrdsed ka paremad pooled.
avaldis
Selgitus
Võtsin võrrandi pooled ruutu.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Leian avaldis väärtused

avaldis
avaldis
Selgitus
Asendasin leitud avaldis väärtused võrrandisüsteemi teise võrrandisse.

Lahendipaar avaldis ja avaldis on võrrandisüsteemi võõrlahend

Selgitus
Kui asendada väärtused avaldis ja avaldis võrrandisüsteemi esimesse võrrandisse näeme, et see pole tõene:
avaldis
avaldis
avaldis

Järelikult on ainus võimalik punkt avaldis järgmine:

avaldis
Selgitus
Punkti avaldis koordinaat on esimesel kohal ja avaldis koordinaat on teisel kohal.

Leian punkti avaldis

avaldis
avaldis
Selgitus
Vektori avaldis x-koordinaat näitab mitu sammu tuleb astuda x-telje suunas ja y-koordinaat näitab mitu sammu tuleb astuda y-telje suunas, et jõuda punktist avaldis punkti avaldis.Järelikult, punkti avaldis koordinaatide leidmiseks tuleb punkti avaldis koordinaatidele liita vektori avaldis koordinaadid.

Leian rombi diagonaalide lõikepunkti, ehk lõigu avaldis keskpunkti

avaldis
avaldis
Selgitus

Lõigu poolitamine

Kui avaldis ja avaldis, siis lõigu avaldis keskpunkt avaldis arvutatakse järgmiselt:

avaldis

Näide

Leia lõigu avaldis keskpunkt, kui avaldis ja avaldis.

avaldis
avaldis

Leian avaldis tõusu

avaldis
Selgitus

Sirge tõusu leidmine kahe punkti abil

Punkte avaldis ja avaldis läbiva sirge võrrand on:

avaldis

Näide

Leia punkte avaldis ja avaldis läbiv sirge võrrand.

avaldis

Leian avaldis tõusu

avaldis
Selgitus

Ristuvate sirgete omadus

Ristuvate sirgete vahel kehtib seos:

avaldis

Näide

Leia sirgega avaldis risti oleva sirge tõus.

Leian antud sirge tõusu

avaldis
avaldis
avaldis

Järelikult temaga risti oleva sirge tõus on:

avaldis

Leian rombi diagonaali avaldis võrrandi (arvestan, et punkt avaldis asub diagonaalil avaldis)

avaldis
Selgitus

Sirge võrrand ühe punkti ja sirge tõusu abil

Kui sirge läbib punkti avaldis ja tema tõus on avaldis, siis selle sirge võrrand on kujul:

avaldis

Näide

Leia sirge võrrand, kui ta läbib punkti avaldis ja tema tõus on avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Arvust avaldis lahutamine ei muuda arvu.Arvuga avaldis korrutamine ei muuda arvu.

Leian punkti avaldis koordinaadi, arvestades, et punkti avaldis koordinaat on avaldis

avaldis
Selgitus
Punkti avaldis koordinaat on avaldis, sest punkt avaldis asub y-teljel.Kui asendada diagonaali teadaolev punkti avaldis koordinaat sirge avaldis võrrandisse, saame välja arvutada punkti avaldis koordinaadi.

Järelikult on punkt avaldis järgmine:

avaldis
Selgitus
Punkti avaldis koordinaat on esimesel kohal ja avaldis koordinaat on teisel kohal.

Punkti avaldis leidmiseks tähistan selle punkti avaldis ja avaldis koordinaadi tundmatutega:

avaldis
Selgitus
Punkti avaldis koordinaat on esimesel kohal ja avaldis koordinaat on teisel kohal.

Leian rombi küljevektorid avaldis, avaldis ja avaldis

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Vektori koordinaadid

Punktid avaldis ja avaldis määravad ära vektori:

avaldis

Näide

Leia vektori avaldis koordinaadid, kui avaldis ja avaldis.

avaldis

Leian rombi küljevektorite avaldis, avaldis ja avaldis pikkused

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Vektori pikkus

Vektori avaldis pikkus on arvutatav valemiga:

avaldis

Näide

Leia vektori avaldis pikkus.

avaldis

Kuna rombi küljed on võrdse pikkusega, saan võrrandisüsteemi:

avaldis
Selgitus
Esimese võrrandi saamiseks võrdsustasin vektorite avaldis ja avaldis pikkused.Teise võrrandi saamiseks võrdsustasin vektorite avaldis ja avaldis pikkused.
avaldis
Selgitus
Võtsin mõlema võrrandi mõlemad pooled ruutu.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin teist võrrandit läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus
Liidan ülevalt alla tundmatud avaldis (avaldis korral koondus avaldis välja):
avaldis
Liidan ülevalt alla tundmatud avaldis:
avaldis
Liidan ülevalt alla tundmatud avaldis (avaldis korral koondus avaldis välja):
avaldis
Liidan ülevalt alla tundmatud avaldis:
avaldis
Liidan ülevalt alla arvud:
avaldis
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandit läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
Asendasin eelneval real leitud tundmatu avaldis avaldise võrrandisüsteemi esimesse võrrandisse.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin teist võrrandit läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
Asendasin leitud avaldis väärtused eelnevalt leitud seosesse:
avaldis

Järelikult on punkti avaldis jaoks kaks võimalust:

avaldis
Selgitus
Asendasin leitud avaldis ja avaldis väärtused avaldisse, kus on tähistatud punkti avaldis koordinaadid:
avaldis

Kuna avaldis on võõrlahend, siis on punkti avaldis jaoks siiski ainult üks võimalus:

avaldis
Selgitus
Punkt avaldis ühtib eelnevalt leitud rombi tipuga avaldis.

Vastus: Rombi tipud on avaldis, avaldis, avaldis ja avaldis ning rombi diagonaali avaldis võrrand on avaldis.

2. Arvutan rombi avaldis pindala

Leian rombi diagonaalide avaldis ja avaldis vektorid

avaldis
avaldis
Selgitus

Vektori koordinaadid

Punktid avaldis ja avaldis määravad ära vektori:

avaldis

Näide

Leia vektori avaldis koordinaadid, kui avaldis ja avaldis.

avaldis

Leian rombi diagonaalide pikkused

avaldis
avaldis
Selgitus

Vektori pikkus

Vektori avaldis pikkus on arvutatav valemiga:

avaldis

Näide

Leia vektori avaldis pikkus.

avaldis

Leian rombi pindala

avaldis
Selgitus

Romb

Romb

Romb

Kui rombi külg on avaldis, tema kõrgus on avaldis ja tema diagonaalid on avaldis ja avaldis, siis tema ümbermõõt ja pindala on arvutatav järgmiste valemitega:

avaldis
avaldis
avaldis

Näide

Rombi külg on avaldis ja tema diagonaalid on avaldis ja avaldis. Leia rombi ümbermõõt, pindala ja kõrgus.

avaldis
avaldis
avaldis

Rombi kõrguse saan arvutada järgmisest seosest:

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

avaldis
Selgitus

Vastus: Rombi avaldis pindala on avaldis ühikut.

3. Joonestan ühes koordinaatteljestikus funktsioonide avaldis ja avaldis graafikud ning rombi avaldis

Funktsiooni avaldis väärtuste tabel

avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
avaldis

Funktsiooni avaldis väärtuste tabel

avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
avaldis
Romb koos joontega y = f(x) ja y = g(x)

Romb koos joontega y = f(x) ja y = g(x)