Ülesanne 7 (15p)

Kolm kaatrit kohtusid merel punktis avaldis. Pärast kohtumist suundus esimene kaater lõuna, teine lääne ja kolmas põhja suunas.
1. Kaks tundi pärast kohtumist olid kaatrid jõudnud vastavalt punktidesse avaldis, avaldis ja avaldis, mis on täisnurkse kolmnurga avaldis tippudeks. Esimese ja teise kaatri vaheline kaugus oli avaldis ning teise kaatri kiirus oli avaldis suurem esimese kaatri kiirusest. Leidke esimese ja kolmanda kaatri vaheline kaugus.
2. Esimene ja kolmas kaater peatusid pärast kahetunnist sõitu. Teine kaater jätkas samadel tingimustel liikumist veel ühe tunni ja jõudis punkti avaldis. Leidke nurk avaldis.

Vaata lahendust


1. Leian esimese ja kolmanda kaatri vahelise kauguse kahe tunni pärast

Teen joonise esimese, teise ja kolmanda kaatri liikumistest ja moodustunud täisnurksest kolmnurgast avaldis arvestades, et kõik kolm kaatrit alustasid sõitu punktist avaldis

Kaatrite paiknemine kahe tunni pärast

Kaatrite paiknemine kahe tunni pärast

Leian kiiruse, mis kuluks avaldis tunniga sõiduks punktist avaldis punkti avaldis

avaldis
Selgitus
Ühtlase kiirusega liikumise valem:
avaldis

Antud valemis tähistab tähis avaldis ühtlast kiirust, tähis avaldis teepikkust mingil lõigul ja tähis avaldis selleks kulutatud aega.

Kui tähistada esimese kaatri kiiruse tundmatuga avaldis, siis teise kaatri kiirus on avaldis.

Selgitus
Ülesandes on öeldud, et teise kaatri kiirus oli avaldis suurem esimese kaatri kiirusest.

Järelikult võin moodustada kiiruse vektoritest täisnurkse kolmnurga avaldis

Täisnurkne kolmnurk AOB

Täisnurkne kolmnurk AOB


avaldis
Selgitus

Pythagorase teoreem

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

avaldis

Näited

1) Täisnurkse kolmnurga kaatetid on avaldis ja avaldis. Leia täisnurkse kolmnurga hüpotenuus.

avaldis
avaldis

2) Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on avaldis ja üks kaatetitest on avaldis. Leia täisnurkse kolmnurga teine kaatet.

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Kuna lahend avaldis on võõrlahend, siis on esimese kaatri ainus sobiv kiirus:

avaldis
Selgitus
Kaatri kiirus ei saa olla negatiivne.

Järelikult teise kaatri kiirus on:

avaldis
Selgitus
Teise kaatri kiirus on avaldis esimese kaatri kiirusest suurem.

Leian esimese ja teise kaatri kauguse punktist avaldis, ehk lõikude avaldis ja avaldis pikkused

avaldis
avaldis
Selgitus
Ühtlase kiirusega liikumise valem:
avaldis

Antud valemis tähistab tähis avaldis ühtlast kiirust, tähis avaldis teepikkust mingil lõigul ja tähis avaldis selleks kulutatud aega.

Leian lõigu avaldis pikkuse

Kaatrite paiknemine kahe tunni pärast

Kaatrite paiknemine kahe tunni pärast

avaldis
Selgitus

Teoreem täisnurkse kolmnurga kõrgusest

Hüpotenuusile toetuv täisnurkne kolmnurk

Hüpotenuusile toetuv täisnurkne kolmnurk

avaldis

Näide

Täisnurkse kolmnurga kõrgusele joonestatud kõrgus on avaldis ja üks hüpotenuusi üks projektsioon on avaldis. Leia teine projektsioon.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Kui kehtib seos avaldis, siis kehtib ka seos avaldis.

Leian lõigu avaldis pikkuse, ehk esimese ja kolmanda kaatri vahelise kauguse

avaldis
Selgitus
Jooniselt on näha, et lõigu avaldis leidmiseks tuleb liita lõikude avaldis ja avaldis pikkused.

Vastus: Kahe tunni pärast oli esimese ja kolmanda kaatri vaheline kaugus avaldis.

2. Esimene ja kolmas kaater peatusid pärast kahetunnist sõitu. Teine kaater jätkas samadel tingimustel liikumist veel ühe tunni ja jõudis punkti avaldis. Leian nurga avaldis.
Kaatrite paiknemine peale teise kaatri kolmetunnist sõitu

Kaatrite paiknemine peale teise kaatri kolmetunnist sõitu

Selgitus
Nurga avaldis tähistasin tunmatuga avaldis ja nurga avaldis tähistasin tunmatuga avaldis.

Teise kaatri kiirus on avaldis.

Selgitus
Eelnevalt ülesandes leitud.

Leian lõigu avaldis pikkuse, ehk teise kaatri kauguse alguspunktist avaldis tunni pärast

avaldis
Selgitus
Ühtlase kiirusega liikumise valem:
avaldis

Antud valemis tähistab tähis avaldis ühtlast kiirust, tähis avaldis teepikkust mingil lõigul ja tähis avaldis selleks kulutatud aega.

Leian täisnurksest kolmnurgast avaldis nurga avaldis

Täisnurkne kolmnurk AOD

Täisnurkne kolmnurk AOD

Selgitus
Lõik avaldis pikkusega avaldis ja lõik avaldis piikusega avaldis on ülesandes eelnevalt leitud.
avaldis
Selgitus

Külgede ja nurkade vahelised trigonomeetrilised seosed

Täisnurkne kolmnurk

Täisnurkne kolmnurk

avaldis

Näited

1) Täisnurkse kolmnurga üks teravnurkadest on avaldis ja hüpotenuus on avaldis. Leia selle teravnurga vastaskaatet.

avaldis
avaldis

2) Leia täisnurkse kolmnurga teravnurk (täpsusega avaldis), kui tema vastaskaatet on avaldis ja lähiskaatet on avaldis.

avaldis
avaldis

Kui avaldis on välja arvutatud, siis avaldis leidmiseks tuleb kalkulaatoril vajutada järgmine klahvikombinatsioon:

avaldis
avaldis
Selgitus
Kui on teada, et avaldis, siis avaldis aitab leida kalkulaatoril järgmine klahvikombinatsioon:
avaldis

Leian täisnurksest kolmnurgast avaldis nurga avaldis

Täisnurkne kolmnurk COD

Täisnurkne kolmnurk COD

Selgitus
Lõik avaldis pikkusega avaldis ja lõik avaldis piikusega avaldis on ülesandes eelnevalt leitud.
avaldis
Selgitus

Külgede ja nurkade vahelised trigonomeetrilised seosed

Täisnurkne kolmnurk

Täisnurkne kolmnurk

avaldis

Näited

1) Täisnurkse kolmnurga üks teravnurkadest on avaldis ja hüpotenuus on avaldis. Leia selle teravnurga vastaskaatet.

avaldis
avaldis

2) Leia täisnurkse kolmnurga teravnurk (täpsusega avaldis), kui tema vastaskaatet on avaldis ja lähiskaatet on avaldis.

avaldis
avaldis

Kui avaldis on välja arvutatud, siis avaldis leidmiseks tuleb kalkulaatoril vajutada järgmine klahvikombinatsioon:

avaldis
avaldis
Selgitus
Kui on teada, et avaldis, siis avaldis aitab leida kalkulaatoril järgmine klahvikombinatsioon:
avaldis

Leian nurga avaldis

avaldis
Selgitus
Jooniselt on näha, et avaldis leidmiseks tuleb liita nurgad avaldis ja avaldis.

Vastus: Kolme tunni pärast on avaldis väärtus avaldis.