Ülesanne 8 (20p)

On antud funktsioonid avaldis, avaldis, kus avaldis, avaldis ja avaldis.
1. Arvutage avaldis.
2. Lahendage võrrand avaldis.
3. Kas leidub parameetri avaldis väärtus nii, et võrrandil avaldis on ainult üks lahend?
4. Määrake parameetrite avaldis ja avaldis väärtused nii, et funktsiooni avaldis graafik läbib punkti avaldis ning selle graafiku puutuja kohal avaldis on risti sirgega avaldis. Koostage selle puutuja võrrand.

Vaata lahendust
1. Arvutan suuruse avaldis

Leian suuruse avaldis

avaldis
Selgitus
Asendasin arvu avaldis funktsiooni avaldis avaldisse.

Leian suuruse avaldis

avaldis
Selgitus
Asendasin leitd avaldis väärtuse avaldisse avaldis.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Vastus: avaldis.

2. Lahendan võrrandi avaldis
avaldis
Selgitus
Võrdsustasin funktsioonide avaldis ja avaldis avaldised.
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib vahetada

avaldis

Näide

Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
Kui kehtib seos avaldis, siis kehtib ka seos avaldis.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Kontroll:

avaldis
Selgitus
Asendasin avaldis esialgsesse võrrandisse.
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Logaritmi definitsiooni põhjal:
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus
Asendasin avaldis esialgsesse võrrandisse.
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Logaritmi definitsiooni põhjal:
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis

Vastus: Võrrandi avaldis lahendid on avaldis ja avaldis.

3. Arvutan parameetri avaldis väärtused nii, et võrrandil avaldis on ainult üks lahend

Kirjutan välja võrrandi avaldis

avaldis
Selgitus
Funktsiooni avaldis kuju on ülesandes antud ja avaldis kuju saame, kui asendame funktsioonis avaldis tundmatud avaldis tundmatuga avaldis.
avaldis
Selgitus
Võrdse alusega logaritmid saavad olla võrdsed vaid siis, kui ka logaritmitavad on võrdsed.
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
avaldis

Leian antud ruutvõrrandi diskriminandi

avaldis
avaldis
Selgitus
Ruutvõrrandi avaldis diskriminant avaldis on avaldis:
avaldis
Näide: Leia ruutvõrrandi avaldis diskriminant.
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Leian avaldis väärtused, mille korral antud ruutvõrrandil on ainult üks lahend

avaldis
Selgitus
Kui ruutvõrrandi diskriminant võrdub arvuga avaldis, siis on ruutvõrrandil vaid üks lahend.
avaldis
Selgitus

Liikmete järjekorra muutmine

Liikmete järjekorda võib hulkliikmes muuta, kui iga liikme ette jääb sama märk.

Näide

Hulkliige avaldis on samaväärne hulkliikmega avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Vastus: Võrrandil avaldis on ainult üks lahend, kui avaldis.

4. Määran parameetrite avaldis ja avaldis väärtused nii, et funktsiooni avaldis graafik läbib punkti avaldis ning selle graafiku puutuja kohal avaldis on risti sirgega avaldis. Koostan selle puutuja võrrandi.

Kuna funktsiooni avaldis graafik läbib punkti avaldis, saan välja kirjutada seose:

avaldis
Selgitus
Asendasin funktsioonis avaldis tundmatu avaldis asemele punkti avaldis koordinaadi avaldis ja tundmatu avaldis, ehk avaldis asemele punkti avaldis koordinaadi avaldis.
avaldis
Selgitus
Kokkuleppeliselt:
avaldis
Järelikult logaritmi definitsiooni põhjal:
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

Leian sirge avaldis tõusu

avaldis
Selgitus
Kui sulu ees on - märk, siis sulgude eemaldamiseks tuleb muuta kõik sulu sees olevad märgid.
avaldis
Selgitus

Sirge tõusu leidmine, kui on teada sirge võrrand

Kui sirge võrrand on kujul avaldis, siis sirge tõus on lineaarliikme avaldis kordaja:

avaldis

Näide

Leia sirge avaldis tõus.

avaldis
avaldis
avaldis

Leian sirgega avaldis risti oleva sirge tõusu

avaldis
Selgitus

Ristuvate sirgete omadus

Ristuvate sirgete vahel kehtib seos:

avaldis

Näide

Leia sirgega avaldis risti oleva sirge tõus.

Leian antud sirge tõusu

avaldis
avaldis
avaldis

Järelikult temaga risti oleva sirge tõus on:

avaldis

Leian funktsiooni avaldis tuletise

avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Leian joone avaldis puutuja tõusu kohal avaldis

avaldis
Selgitus

Joone y=f(x) puutuja tõusu leidmine

Valem

avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis tõus kohal avaldis.

avaldis
avaldis

Leian kordaja avaldis

avaldis
Selgitus
Võrdustasin kahel erineval moel leitud joone avaldis puutuja tõusud avaldis ja avaldis.
avaldis
Selgitus
Kui kehtib seos avaldis, siis kehtib ka seos avaldis.

Järelikult on funktsiooni avaldis kuju määratud kordajate avaldis ja avaldis korral:

avaldis
Selgitus
Asendasin leitud avaldis ja avaldis funktsiooni avaldis.
avaldis
Selgitus
avaldis

Leian funktsiooni avaldis y-koordinaadi kohal avaldis

avaldis
Selgitus
Asendasin avaldis väärtuse funktsiooni avaldis tundmatu avaldis asemele.

Leian funktsiooni avaldis tuletise

avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Leian joone avaldis puutuja tõusu kohal avaldis

avaldis
Selgitus

Joone y=f(x) puutuja tõusu leidmine

Valem

avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis tõus kohal avaldis.

avaldis
avaldis

Leian funktsiooni avaldis puutuja tõusu kohal avaldis

avaldis
Selgitus

Sirge võrrand ühe punkti ja sirge tõusu abil

Kui sirge läbib punkti avaldis ja tema tõus on avaldis, siis selle sirge võrrand on kujul:

avaldis

Näide

Leia sirge võrrand, kui ta läbib punkti avaldis ja tema tõus on avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Kui sulu ees on - märk, siis sulgude eemaldamiseks tuleb muuta kõik sulu sees olevad märgid.Arvuga avaldis korrutamine ei muuda arvu.
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

Vastus: Kordaja avaldis väärtus on avaldis, kordaja avaldis väärtus on avaldis ja funktsiooni avaldis puutuja võrrand on avaldis.