Ülesanne 9 (20p)

Hoone koosneb kahest osast: selle madalam osa on poolsilindrikujuline (vt. joonist). Hoone risttahukakujulise osa laius on võrdne poolsilindrikujulise otsaseina diameetriga avaldis. Hoone risttahukakujulise osa pikkus ja laius suhtuvad nagu avaldis ning selle kõrgus on avaldis korda suurem madalama osa pikkusest. Poolsilindri kujulise osa katuse pinnalaotuse ümbermõõt on avaldis.
1. Avaldage kogu hoone ruumala ümbermõõdu avaldis ja diameetri avaldis kaudu.
2. Kui suur peaks antud avaldis korral olema poolringikujulise otsaseina raadius, et madalama osa katuse pindala oleks võimalikult suur?

Poolsilindrikujulise osaga hoone

Poolsilindrikujulise osaga hoone

Vaata lahendust
1. Avaldan kogu hoone ruumala ümbermõõdu avaldis ja diameetri avaldis kaudu

Leian poolringikujulise maja otsaseina raadiuse

avaldis
Selgitus
Kuna ringjoone raadius on pool diameetrist, siis raadiuse leidmiseks tuleb diameetri pikkuse jagada arvuga avaldis.

Teen joonise poolsilindrilise katuse ristkülikukujulisest pinnalaotusest

Poolsilindrikujulise katuse pinnalaotus

Poolsilindrikujulise katuse pinnalaotus

Selgitus
Ristküliku kujulise katuse pinnalaotuse üks külg ühtib maja madalama osa pikkusega, ehk poolsilindri kõrgusega ja on tähistatud tundmatuga avaldis.Ristküliku kujulise katuse pinnalaotuse teine külg ühtib poolringikujulise maja otsaseina ümbermõõduga ja on tähistatud tundmatuga avaldis.

Avaldan seose katuse pinnalaotuse ümbermõõdu ja selle mõõtmete avaldis ja avaldis kaudu

avaldis
Selgitus

Ristkülik

Ristkülik

Ristkülik

Kui ristküliku küljed on avaldis ja avaldis, siis tema ümbermõõt avaldis ja pindala avaldis on arvutatav järgmiste valemitega:

avaldis
avaldis

Näide

Ristküliku küljed on avaldis ja avaldis. Leia selle ristküliku ümbermõõt ja pindala.

avaldis
avaldis

Leian poolringikujulise maja otsaseina ümbermõõdu, ehk ristküliku külje avaldis pikkuse

avaldis
Selgitus

Ringjoon

Ringjoon

Ringjoon

Kui ringjoone raadius on avaldis, siis selle ringjoone pikkus avaldis ja ringi pindala avaldis on arvutatav järgmiste valemite abil:

avaldis
avaldis
avaldis

Näide

Ringjoone raadius on avaldis. Leia selle ringjoone pikkus ja ringi pindala.

avaldis
avaldis
Poolringi ümbermõõdu leidmiseks tuleb ringjoone ümbermõõt jagada arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

avaldis
Selgitus
Asendasin eelnevalt leitud avaldis antud seosesse.
avaldis
Selgitus

Avaldan poolsilindrikujulise maja pikkuse avaldis tundmatute avaldis ja avaldis kaudu

avaldis
Selgitus
Asendasin leitud avaldis leitdu seosesse:
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.

Leian poolsilindri kujulise maja osa ruumala

avaldis
Selgitus

Silinder

Silinder

Silinder

Kui silindri raadius on avaldis ja silindri kõrgus on avaldis, siis silindri põhja pindala avaldis, külgpindala avaldis, täispindala avaldis ja ruumala avaldis avalduvad järgmiste valemite abil:

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Näide

Silindri raadius on avaldis ja kõrgus avaldis. Leia Silindri täispindala ja ruumala.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Poolsilindri ruumala leidmiseks tuleb silindri ruumala jagada arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus
Asendasin eelnevalt leitud avaldis ja avaldis antud seosesse.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
Murrujoone võib asendada jagamismärgiga.Arvu teisendamisel murruks tuleb arvule murrjoon ja arv avaldis alla kirjutada.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis

Teen joonise maja risttahuka kujulisest osast

Maja risttahuka kujuline osa

Maja risttahuka kujuline osa

Selgitus
Risttahuka laiuse tähistasin tundmatuga avaldis.Risttahuka pikkuse tähistasin tundmatuga avaldis.Risttahuka kõrguse tähistasin tundmatuga avaldis.

Leian risttahuka laiuse avaldis

avaldis
Selgitus
Risttahuka laius avaldis ühtib poolsilindrikujulise otsaseina diameetriga avaldis.

Leian risttahuka pikkuse avaldis

Ristkorrutis 3

Ristkorrutis 3

Selgitus
Kuna risttahuka pikkus avaldis ja laius avaldis suhtuvad nagu avaldis, siis on võimalik moodustada ristkorrutis, kus pikkusele avaldis on vastavusse seatud arv avaldis ja laiusele avaldis on vastavusse seatud arv avaldis.
avaldis
Selgitus
Moodustasin ristkorrutise põhjal võrrandi.
avaldis
Selgitus
Võrrandis avaldis võib liimeid vedada üle võrdusmärgi risti ülevalt alla ja alt üles. Antud juhul on eesmärk avaldada tundmatu avaldis. Selleks viin tundmatu avaldis risti alt üles.
avaldis
Selgitus
Asendasin leitud avaldis antud seosesse.

Leian risttahuka kõrguse avaldis

avaldis
Selgitus
Kuna risttahuka kõrgus on poolsilindrilise osa pikkusest avaldis korda pikem, siis tuleb risttahuka kõrguse avaldis leidmiseks poolsilindrilise osa pikkus avaldis korrutada arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus
Asendasin eelnevalt leitud avaldis antud seosesse.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Leian maja risttahuka kujulise osa ruumala

avaldis
Selgitus

Risttahukas

Risttahukas

Risttahukas

Kui risttahuka servad on avaldis, avaldis ja avaldis, siis risttahuka täispindala avaldis ja ruumala avaldis avalduvad järgmiste valemite abil:

avaldis
avaldis

Näide

Risttahuka servad on avaldis, avaldis ja avaldis. Leia risttahuka täispindala ja ruumala.

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Asendasin leitud avaldis, avaldis ja avaldis antud seosesse.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Leian hoone kogu ruumala

avaldis
Selgitus
Kogu hoone ruumala leidmiseks tuleb poolsilindrilise osa ruumala avaldis ja risttahukakujulise osa ruumala avaldis kokku liita.
avaldis
Selgitus
Asendasin leitud avaldis ja avaldis antud seosesse.
avaldis
Selgitus

Vastus: Hoone kogu ruumala on avaldis.

2. Kui suur peaks antud avaldis korral olema poolringikujulise otsaseina raadius, et madalama osa katuse pindala oleks võimalikult suur?

Teen joonise poolsilindrilise katuse ristkülikukujulisest pinnalaotusest

Poolsilindrikujulise katuse pinnalaotus

Poolsilindrikujulise katuse pinnalaotus

Selgitus
Ristküliku kujulise katuse pinnalaotuse üks külg ühtib maja madalama osa pikkusega, ehk poolsilindri kõrgusega ja on tähistatud tundmatuga avaldis.Ristküliku kujulise katuse pinnalaotuse teine külg ühtib poolringikujulise maja otsaseina ümbermõõduga ja on tähistatud tundmatuga avaldis.

Leian ristküliku külje avaldis pikkuse, ehk poolringi pikkuse raadiuse avaldis kaudu

avaldis
Selgitus

Ringjoon

Ringjoon

Ringjoon

Kui ringjoone raadius on avaldis, siis selle ringjoone pikkus avaldis ja ringi pindala avaldis on arvutatav järgmiste valemite abil:

avaldis
avaldis
avaldis

Näide

Ringjoone raadius on avaldis. Leia selle ringjoone pikkus ja ringi pindala.

avaldis
avaldis
Poolringi pikkuse leidmiseks tuleb terve ringjoone pikkus jagada arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Leian ristküliku külje avaldis pikkuse, ehk poolsilindrikujulise osa pikkuse raadiuse avaldis kaudu

avaldis
Selgitus
Eelmises alaülesandes on poolsilindrikujulise osa pikkus avaldis otsaseina diameetri avaldis kaudu leitud.
avaldis
Selgitus
Kuna diameeter on raadiusest avaldis korda pikem, siis diameetri leidmiseks tuleb raadius korrutada arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus

Moodustan poolsilindrilse osa katuse pindala funktsiooni

avaldis
Selgitus

Ristkülik

Ristkülik

Ristkülik

Kui ristküliku küljed on avaldis ja avaldis, siis tema ümbermõõt avaldis ja pindala avaldis on arvutatav järgmiste valemitega:

avaldis
avaldis

Näide

Ristküliku küljed on avaldis ja avaldis. Leia selle ristküliku ümbermõõt ja pindala.

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Asendasin eelnevalt leitud avaldis ja avaldis antud seosesse.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
Jagamismärgil ja murrujoonel on sama tähendus.
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

avaldis
Selgitus
Antud valemit kasutasin paremalt vasakule.

Olen saanud poolsilindrilise osa katuse pindala funktsiooni

avaldis
Selgitus
Eelmise võrduseahela algus ja lõpp.Kuna eesmärk oli leida katuse pinnalaotuse funktsioon tundmatu avaldis kaudu, siis järelikult kõiki muid tähti võtan funktsioonis kui arve.Olen saanud funktsiooni, mille lineaarliikme avaldis kordaja on avaldis ja ruutliikme avaldis kordaja on avaldis.

Leian poolsilindrilise osa katuse pindala funktsiooni tuletise

avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Ekstreemumid

avaldis

avaldis
avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis miinimumpunkti ja maksimumpunkti koordinaadid.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian ekstreemumpunktide avaldis koordinaadid.

avaldis
avaldis

Vastus:avaldis ja avaldis

avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib korrutada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi korrutades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul korrutasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Leian poolsilindrilise osa katuse pindala funktsiooni tuletise

avaldis
Selgitus
Teise tuletise leidmiseks tuleb esimesest tuletisest omakorda tuletis võtta.

Määran ekstreemumi liigi

avaldis
Selgitus

Ekstreemumid

avaldis

avaldis
avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis miinimumpunkti ja maksimumpunkti koordinaadid.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian ekstreemumpunktide avaldis koordinaadid.

avaldis
avaldis

Vastus:avaldis ja avaldis

Vastus: Antud avaldis korral peab olema poolringikujulise otsaseina raadius avaldis selleks, et madalama osa katuse pindala oleks võimalikult suur.