Ülesanne 6 (15p)

Sirge avaldis on määratud punktiga ja avaldis ja sihivektoriga avaldis. Sirge avaldis läbib punkti avaldis ja on risti sirgega avaldis.
1. Koostage sirgete avaldis ja avaldis võrrandid.
2. Märkige koordinaatteljestikku punktid avaldis ja avaldis ning joonestage sirged avaldis ja avaldis.
3. Sirgel avaldis asub punkt avaldis nii, et kolmnurga avaldis pindala on avaldis. Leidke arvutamise teel punkti avaldis koordinaadid, kui punkt avaldis asub koordinaatteljestiku avaldis veerandis.
4. Koostage ringjoone, mille diameeter on avaldis, võrrand.

Vaata lahendust
1. Koostan sirgete avaldis ja avaldis võrrandid

Leian sirge avaldis võrrandi

avaldis
Selgitus

Sirge võrrand ühe punkti ja sihivektori abil

Sirge võrrand, mis läbib punkti avaldis ja on vektori avaldis sihiline:

avaldis

Näide

Leia sirge võrrand, mis läbib punkti avaldis ja on vektori avaldis sihiline.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Arvust avaldis lahutamine ei muuda arvu.
avaldis
Selgitus
Võrrandis avaldis võib liimeid vedada üle võrdusmärgi risti ülevalt alla ja alt üles. Antud juhul on eesmärk vabaneda murdudest. Selleks viin arvud avaldis ja avaldis risti alt üles.
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

Leian sirge avaldis tõusu

avaldis
Selgitus

Sirge tõusu leidmine, kui on teada sirge võrrand

Kui sirge võrrand on kujul avaldis, siis sirge tõus on lineaarliikme avaldis kordaja:

avaldis

Näide

Leia sirge avaldis tõus.

avaldis
avaldis
avaldis

Leian sirge avaldis tõusu

avaldis
Selgitus

Ristuvate sirgete omadus

Ristuvate sirgete vahel kehtib seos:

avaldis

Näide

Leia sirgega avaldis risti oleva sirge tõus.

Leian antud sirge tõusu

avaldis
avaldis
avaldis

Järelikult temaga risti oleva sirge tõus on:

avaldis

Leian sirge avaldis võrrandi

avaldis
Selgitus

Sirge võrrand ühe punkti ja sirge tõusu abil

Kui sirge läbib punkti avaldis ja tema tõus on avaldis, siis selle sirge võrrand on kujul:

avaldis

Näide

Leia sirge võrrand, kui ta läbib punkti avaldis ja tema tõus on avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
avaldis

Vastus: Sirge avaldis võrrand on avaldis ja sirge avaldis võrrand on avaldis.

2. Märgin koordinaatteljestikku punktid avaldis ja avaldis ning joonestan sirged avaldis ja avaldis

Sirge avaldis väärtuste tabel

avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis

Sirge avaldis väärtuste tabel

avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Sirged s ja t

Sirged s ja t

3. Sirgel avaldis asub punkt avaldis nii, et kolmnurga avaldis pindala on avaldis. Leian arvutamise teel punkti avaldis koordinaadid, kui punkt avaldis asub koordinaatteljestiku avaldis veerandis.

Tähistan sirgel avaldis oleva punkti avaldis

avaldis
Selgitus
Punkti avaldis koordinaat on esimesel kohal ja avaldis koordinaat on teisel kohal.

Leian vektorite avaldis ja avaldis koordinaadid

avaldis
avaldis
Selgitus

Vektori koordinaadid

Punktid avaldis ja avaldis määravad ära vektori:

avaldis

Näide

Leia vektori avaldis koordinaadid, kui avaldis ja avaldis.

avaldis

Leian vektorite avaldis ja avaldis pikkused

avaldis
avaldis
Selgitus

Vektori pikkus

Vektori avaldis pikkus on arvutatav valemiga:

avaldis

Näide

Leia vektori avaldis pikkus.

avaldis

Kuna kolmnurk avaldis on täisnurkne ja tema pindala peab olema avaldis, saan võrrandi:

avaldis
Selgitus

Täisnurkse kolmnurga pindala

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

avaldis

Näide

Täisnurkse kolmnurga kaatetid on avaldis ja avaldis. Leia selle kolmnurga pindala.

avaldis
Asendasin täisnurkse kolmnurga pindala valemisse vektorite avaldis ja avaldis pikkused ja vahetasin võrduse pooled.
avaldis
Selgitus
Kuna punkt avaldis asub sirgel avaldis, siis võib võrrandis avaldis asendada tundmatuga avaldis.
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
Antud juhul kasutasin valemit paremalt vasakule.
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus
Võtsin võrrandi pooled ruutu.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Kuna avaldis on võõrlahend, siis ainus sobiv punkti avaldis koordinaat on:

avaldis
Selgitus
Jooniselt on näha, et avaldis korral on punkt avaldis veerandis ja avaldis korral on punkt avaldis veerandis.

Leian punkti avaldis koordinaadi

avaldis
Selgitus
Punkti avaldis koordinaadi arvutamiseks tuleb leitud avaldis koordinaat asendada sirge avaldis võrrandisse avaldis.

Vastus: Selleks, et kolmnurga avaldis pindala oleks avaldis, peab olema punkt avaldis kujul avaldis.

Selgitus
Punkti avaldis koordinaat on esimesel kohal ja punkti avaldis koordinaat on teisel kohal.
4. Koostan ringjoone, mille diameeter on avaldis, võrrandi

Leian lõigu avaldis keskpunkti, ehk otsitava ringjoone keskpunkti

avaldis
avaldis
Selgitus

Lõigu poolitamine

Kui avaldis ja avaldis, siis lõigu avaldis keskpunkt avaldis arvutatakse järgmiselt:

avaldis

Näide

Leia lõigu avaldis keskpunkt, kui avaldis ja avaldis.

avaldis
avaldis

Leian vektori avaldis koordinaadid

avaldis
Selgitus

Vektori koordinaadid

Punktid avaldis ja avaldis määravad ära vektori:

avaldis

Näide

Leia vektori avaldis koordinaadid, kui avaldis ja avaldis.

avaldis

Leian vektori avaldis pikkuse, ehk otsitava ringjoone raadiuse

avaldis
Selgitus

Vektori pikkus

Vektori avaldis pikkus on arvutatav valemiga:

avaldis

Näide

Leia vektori avaldis pikkus.

avaldis

Leian ringjoone võrrandi, mille diameeter on lõik avaldis

avaldis
Selgitus

Ringjoone võrrand

Kui ringjoone keskpunkt on avaldis ja ringjoone raadius on avaldis, siis on ringjoone võrrand kujul:

avaldis

Näide

Leia ringjoone võrrand, kui tema keskpunkt on avaldis ja raadius on avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
avaldis

Vastus: Ringjoone, mille diameeter on avaldis, võrrandon avaldis.