Ülesanne 9 (20p)

Võrdhaarne teravnurkne kolmnurk haaraga avaldis ja tipunurgaga avaldis pöörleb ümber ühe haara.
1. Avaldage tekkinud pöördkeha täispindala ning ruumala haara avaldis ja tipunurga avaldis kaudu.
2. Arvutage täispindala ja ruumala, kui:
avaldis ja avaldis.

Vaata lahendust
1. Avaldan tekkinud pöördkeha täispindala ning ruumala haara avaldis ja tipunurga avaldis kaudu

Teen joonise antud võrdhaarsest kolmnurgast

Võrdhaarne kolmnurk

Võrdhaarne kolmnurk

Selgitus
Kolmnurga haar avaldis ja tipunurk avaldis on ülesandes antud.Tähistasin kolmnurga aluse tundmatuga avaldis.

Lõikan antud võrdhaarsest kolmnurgast välja täisnurkse kolmnurga, et sealt leida võrdhaarse kolmnurga alus avaldis

Täisnurkne kolmnurk nr. 20

Täisnurkne kolmnurk nr. 20

Selgitus
Võrdhaarse kolmnurga kõrgus poolitab kolmnurga aluse, järelikult on antud täisnurkse kolmnurga alus pool alusest avaldis, ehk avaldis.Võrdhaarse kolmnurga kõrgus poolitab kolmnurga tipunurga, järelikult on antud täisnurkse kolmnurga tipunurk pool võrdhaarse kolmnurga tipunurgast avaldis, ehk avaldis.
avaldis
Selgitus

Külgede ja nurkade vahelised trigonomeetrilised seosed

Täisnurkne kolmnurk

Täisnurkne kolmnurk

avaldis

Näited

1) Täisnurkse kolmnurga üks teravnurkadest on avaldis ja hüpotenuus on avaldis. Leia selle teravnurga vastaskaatet.

avaldis
avaldis

2) Leia täisnurkse kolmnurga teravnurk (täpsusega avaldis), kui tema vastaskaatet on avaldis ja lähiskaatet on avaldis.

avaldis
avaldis

Kui avaldis on välja arvutatud, siis avaldis leidmiseks tuleb kalkulaatoril vajutada järgmine klahvikombinatsioon:

avaldis
avaldis
Selgitus
Kui kehtib seos avaldis, siis kehtib ka seos avaldis.
avaldis
Selgitus
Kui kehtib seos avaldis, siis kehtib ka seos avaldis.

Teen joonise pöördkehast, mis tekib ümber võrdhaarse kolmnurga haara avaldis pöörlemisel

Pöördkeha

Pöördkeha

Selgitus
Tekkinud pöördkeha koosneb kahest koonusest.Mõlema koonuse põhja raadiuse tähistasin tundmatuga avaldis.Ülemise koonuse moodustaja on võrdhaarse kolmnurga haar avaldis ja alumise koonuse moodustaja on võrdhaarse kolmnurga alus avaldis.Ülemise koonuse kõrguse tähistasin tundmatuga avaldis ja alumise koonuse kõrguse tähistasin tundmatuga avaldis (tundmatud avaldis ja avaldis moodustavad võrdhaarse kolmnurga haara avaldis).

Lõikan jooniselt välja täisnurkse kolmnurga ja saan selle põhjal välja kirjutada võrrandi

Täisnurkne kolmnurk nr. 21

Täisnurkne kolmnurk nr. 21

avaldis
Selgitus

Pythagorase teoreem

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

avaldis

Näited

1) Täisnurkse kolmnurga kaatetid on avaldis ja avaldis. Leia täisnurkse kolmnurga hüpotenuus.

avaldis
avaldis

2) Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on avaldis ja üks kaatetitest on avaldis. Leia täisnurkse kolmnurga teine kaatet.

avaldis
avaldis

Lõikan jooniselt välja täisnurkse kolmnurga ja saan selle põhjal välja kirjutada võrrandi

Täisnurkne kolmnurk nr. 22

Täisnurkne kolmnurk nr. 22

avaldis
Selgitus

Pythagorase teoreem

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

avaldis

Näited

1) Täisnurkse kolmnurga kaatetid on avaldis ja avaldis. Leia täisnurkse kolmnurga hüpotenuus.

avaldis
avaldis

2) Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on avaldis ja üks kaatetitest on avaldis. Leia täisnurkse kolmnurga teine kaatet.

avaldis
avaldis

Kuna alus avaldis on eelnevalt leitud, siis saan võrrandile kuju:

avaldis
Selgitus
Asendasin eelnevalt leitud avaldis antud seosesse.
avaldis
Selgitus

Kuna mõlema koonuse kõrgused moodustavad võrdkülgse kolmnurga haara avaldis, saan võrrandi:

avaldis
Selgitus
Kui liita koonuste kõrgused avaldis ja avaldis, saame võrdkülgse kolmnurga haara avaldis.

Saan süsteemi:

avaldis
Selgitus
Moodustasin kolmest leitud võrrandist võrrandisüsteemi.
avaldis
Selgitus
Võrdsustasin esimeses ja teises võrrandis tundmatud avaldis.Viisin kolmandas võrrandis tundmatu avaldis teisele poole võrdusmärki selleks, et avaldada tundmatu avaldis.
avaldis
Selgitus
Asendasin teisest võrrandist tundmatu avaldis esimesse võrrandisse.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
Kui sulu ees on - märk, siis tuleb sulgude eemaldamiseks muuta kõik sulu sees olevad märgid.
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi tundmatuga avaldis.Tundmatuga võib võrrandi pooli läbi jagada vaid juhul, kui õnnestub veenduda, et võrrandi pooli ei jagata läbi arvuga avaldis.Tundmatu avaldis on väärtusega avaldis vaid siis, kui avaldis on avaldis, kuid võrdhaarse kolmnurga haar avaldis ei saa olla avaldis.
avaldis
Selgitus
Asendasin leitud avaldis võrrandisüsteemi teise võrrandisse.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
Kui kehtib seos avaldis, siis liikme avaldis üle võrdusmärgi viimisel kehtib ka seos:
avaldis
Järelikult kehtib ka seos:
avaldis
avaldis
Selgitus
Võtsin võrduse mõlemast poolest ruutjuure, ehk kõikidelt liikmetelt ruudud ära ning arvust avaldis ruutjuure võtmisel sain tulemuseks arvu avaldis.
avaldis
Selgitus
Korrutises tegurite järjekord ei muuda tulemust.
avaldis
Selgitus
Antud juhul kasutasin valemit paremalt vasakule.Kui kehtib seos:
avaldis
Siis kehtib ka seos:
avaldis
avaldis
Selgitus
Asendasin leitud avaldis seosesse:
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
Antud juhul kasutasin valemit paremalt vasakule.Kui kehtib seos:
avaldis
Siis kehtib ka seos:
avaldis
avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Antud juhul kasutasin valemit paremalt vasakule.Kui kehtib seos:
avaldis
Siis kehtib ka seos:
avaldis

Leian ülemise koonuse külgpindala

avaldis
Selgitus

Koonus

Koonus

Koonus

Kui koonuse raadius on avaldis, koonuse kõrgus avaldis ja koonuse moodustaja(lõik koonuse tipust põhjani) on avaldis, siis koonuse põhja pindala avaldis, külgpindala avaldis, täispindala avaldis ja ruumala avaldis avalduvad järgmiste valemite abil:

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Näide

Koonuse raadius on avaldis, kõrgus on avaldis ja moodustaja on avaldis. Leia koonuse täispindala ja ruumala.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Asendasin eelnevalt leitud avaldis antud seosesse.
avaldis
Selgitus

Leian alumise koonuse külgpindala

avaldis
Selgitus

Koonus

Koonus

Koonus

Kui koonuse raadius on avaldis, koonuse kõrgus avaldis ja koonuse moodustaja(lõik koonuse tipust põhjani) on avaldis, siis koonuse põhja pindala avaldis, külgpindala avaldis, täispindala avaldis ja ruumala avaldis avalduvad järgmiste valemite abil:

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Näide

Koonuse raadius on avaldis, kõrgus on avaldis ja moodustaja on avaldis. Leia koonuse täispindala ja ruumala.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Asendasin eelnevalt leitud avaldis ja avaldis antud seosesse.
avaldis
Selgitus

Leian pöördkeha täispindala

avaldis
Selgitus
Pöördkeha täispindala leidmiseks tuleb ülemise ja alumise koonuse külgpindalad liita.
avaldis
Selgitus

Leian ülemise koonuse ruumala

avaldis
Selgitus

Koonus

Koonus

Koonus

Kui koonuse raadius on avaldis, koonuse kõrgus avaldis ja koonuse moodustaja(lõik koonuse tipust põhjani) on avaldis, siis koonuse põhja pindala avaldis, külgpindala avaldis, täispindala avaldis ja ruumala avaldis avalduvad järgmiste valemite abil:

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Näide

Koonuse raadius on avaldis, kõrgus on avaldis ja moodustaja on avaldis. Leia koonuse täispindala ja ruumala.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Asendasin eelnevalt leitud avaldis ja avaldis antud seosesse.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Leian alumise koonuse ruumala

avaldis
Selgitus

Koonus

Koonus

Koonus

Kui koonuse raadius on avaldis, koonuse kõrgus avaldis ja koonuse moodustaja(lõik koonuse tipust põhjani) on avaldis, siis koonuse põhja pindala avaldis, külgpindala avaldis, täispindala avaldis ja ruumala avaldis avalduvad järgmiste valemite abil:

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Näide

Koonuse raadius on avaldis, kõrgus on avaldis ja moodustaja on avaldis. Leia koonuse täispindala ja ruumala.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Asendasin eelnevalt leitud avaldis ja avaldis antud seosesse.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Leian pöördkeha ruumala

avaldis
Selgitus
Pöördkeha ruumala leidmiseks tuleb ülemise ja alumise koonuse ruumalad liita.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Vastus: Pöördkeha täispindala on avaldis ja pöördkeha ruumala on avaldis.

2. Arvutan pöördkeha täispindala ja ruumala, kui avaldis ja avaldis

Määran avaldis arvutamiseks tehete järjekorra

avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus
Antud juhul kasutasin valemit paremalt vasakule.
avaldis

Järelikult on antud alaülesandes avaldis väärtus täispindala ja ruumala arvutamiseks:

avaldis
Selgitus
Näidatud nelja tehtega arvutasin välja avaldis väärtuseks arvu avaldis.

Leian täispindala ja ruumala arvutamiseks avaldis korral avaldis, avaldis, avaldis, avaldis ja avaldis väärtused:

avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus
Asendasin eelnevalt leitud avaldis antud seosesse.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Leian pöördkeha täispindala, kui avaldis ja avaldis

avaldis
Selgitus
Asendasin eelnevalt leitud avaldis ja ülesandes antud avaldis eelmises punktis leitud pöördkeha täispindala valemisse.
avaldis
Selgitus
Asendasin eelnevalt leitud avaldis ja avaldis antud seosesse.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

avaldis
Selgitus
Arvu teisendamisel murruks tuleb arvule murrujoon ja arv avaldis alla kirjutada.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Leian pöördkeha ruumala, kui avaldis ja avaldis

avaldis
Selgitus
Asendasin eelnevalt leitud avaldis ja ülesandes antud avaldis eelmises punktis leitud pöördkeha ruumala valemisse.
avaldis
Selgitus
Arvuga avaldis jagamine ja arvuga avaldis korrutamine annab sama tulemuse.
avaldis
Selgitus
Asendasin eelnevalt leitud avaldis, avaldis ja avaldis antud seosesse.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Vastus: Kui avaldis (saadud lihtsustamise teel) ja avaldis, siis on pöördkeha täispindala avaldis ja pöördkeha ruumala on avaldis.