Ülesanne 4 (10p)

1. Kasvava aritmeetilise jada neljanda ja esimese liikme jagatis on avaldis ning kuuenda ja kolmanda liikme korrutis on avaldis. Leidke selle aritmeetilise jada esimene liige.
2. Hääbuva geomeetrilise jada kõikide liikmete summa on avaldis ning esimene liige on avaldis. Leidke selle jada tegur ja kolmas liige.

Vaata lahendust
1. Leian jada esimese liikme

Tähistan antud aritmeetilise jada esimese liikme tundmatuga avaldis ja jada vahe tundmatuga avaldis ning saan selle jada esimesele, kolmandale, neljandale ja kuuendale liikmele vastavalt kuju:

avaldis
Selgitus

Aritmeetilise jada üldliikme valem

avaldis

avaldis on jada üldliige järjekorra numbriga avaldis
avaldis on jada esimene liige
avaldis on aritmeetilise jada vahe
avaldis on jada liikme järjekorra number.

Näide

Leia aritmeetilise jada avaldis viiekümnes liige.

avaldis
avaldis

Kuna jada neljanda ja esimese liikme jagatis on avaldis, saan võrrandi:

avaldis
Selgitus
Ülesande teksti põhjal on neljanda liikme, ehk avaldis ja esimese liikme, ehk avaldis jagatis avaldis.Jagamismärgi asemel võib kasutada ka murrujoont.
avaldis
Selgitus
Kui kehtib seos avaldis, siis kehtib ka seos avaldis.
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.

Kuna jada kuuenda ja kolmanda liikme korrutis on avaldis, saan võrrandi:

avaldis
Selgitus
Ülesande teksti põhjal on kuuenda liikme, ehk avaldis ja kolmanda liikme, ehk avaldis korrutis avaldis.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Saan süsteemi:

avaldis
Selgitus
Moodustasin kahest leitud võrrandist võrrandisüsteemi.
avaldis
Selgitus
Asendasin süsteemi esimesest võrrandist tundmatu avaldis süsteemi teise võrrandisse.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus
avaldis

Kuna lahend avaldis on võõrlahend, siis ainus sobiv jada vahe on:

avaldis
Selgitus
Kuna ülesandes on öeldud, et antud aritmeetiline jada peab olema kasvav, siis peab jada vahe avaldis olema positiivne.

Järelikult on ka jada esimese liikme jaoks ainult üks võimalus:

avaldis
Selgitus
Kuna avaldis oli võõrlahend, siis on võõrlahend ka temale vastav tundmatu avaldis.

Vastus: Antud aritmeetilise jada esimene liige on avaldis.

2. Leian hääbuva geomeetrilise jada teguri ja kolmanda liikme

Kuna hääbuva geomeetrilise jada kõikide liikmete summa on avaldis ning esimene liige on avaldis, saan võrrandi:

avaldis
Selgitus

Hääbuva geomeetrilise jada summa

Kui geomeetrilises jadas kehtib tingimus:

avaldis

Siis on selle jada lõpmatut summat võimalik arvutada järgmise valemi abil:

avaldis

avaldis on jada esimene liige
avaldis on jada tegur

Näide

Leia hääbuva geomeetrilise jada avaldis summa:

avaldis
avaldis
Asendasin hääbuva geomeetrilise jada summa avaldis arvuga avaldis ja jada esimese liikme avaldis arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus
Kui kehtib seos avaldis, siis kehtib ka seos avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.

Leian jada kolmanda liikme

avaldis
Selgitus

Geomeetrilise jada üldliikme valem

avaldis

avaldis on jada üldliige järjekorra numbriga avaldis
avaldis on jada esimene liige
avaldis on jada tegur
avaldis on jada liikme järjekorra number.

Näide

Leia geomeetrilise jada avaldis viieteistkümnes liige.

avaldis
avaldis

Vastus: Antud hääbuva geomeetrilise jada tegur on avaldis ja selle jada kolmas liige on avaldis.