Ülesanne 5 (10p)

Silindri täispindala on avaldis. Kui selle silindri raadiust vähendada kaks korda ja kõrgus jätta samaks, siis väheneb silindri täispindala avaldis võrra. Leidke esialgse silindri kõrgus ja raadius.

Vaata lahendust
Koostan esimese võrrandi teades, et silindri täispindala on avaldis

Tähistan silindri põhja raadiuse tundmatuga avaldis ja silindri kõrguse tundmatuga avaldis.

Selgitus
Kuna ülesandes on küsitud silindri põhja raadiust ja silindri kõrgust, siis antud juhul on mõistlik tähistada need suurused silindri valemites tähistatud suurustega avaldis ja avaldis.

Leian esialgse silindri põhja pindala

avaldis
Selgitus

Silinder

Silinder

Silinder

Kui silindri raadius on avaldis ja silindri kõrgus on avaldis, siis silindri põhja pindala avaldis, külgpindala avaldis, täispindala avaldis ja ruumala avaldis avalduvad järgmiste valemite abil:

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Näide

Silindri raadius on avaldis ja kõrgus avaldis. Leia Silindri täispindala ja ruumala.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian esialgse silindri külgpindala

avaldis
Selgitus

Silinder

Silinder

Silinder

Kui silindri raadius on avaldis ja silindri kõrgus on avaldis, siis silindri põhja pindala avaldis, külgpindala avaldis, täispindala avaldis ja ruumala avaldis avalduvad järgmiste valemite abil:

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Näide

Silindri raadius on avaldis ja kõrgus avaldis. Leia Silindri täispindala ja ruumala.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian esialgse silindri täispindala

avaldis
Selgitus

Silinder

Silinder

Silinder

Kui silindri raadius on avaldis ja silindri kõrgus on avaldis, siis silindri põhja pindala avaldis, külgpindala avaldis, täispindala avaldis ja ruumala avaldis avalduvad järgmiste valemite abil:

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Näide

Silindri raadius on avaldis ja kõrgus avaldis. Leia Silindri täispindala ja ruumala.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Kuna ülesandes on öeldud, et esialgse silindri täispindala on avaldis, saan võrrandi:

avaldis
Selgitus
Võrdsustasin täispindala avaldise tundmatute avaldis ja avaldis kaudu ülesandes antud täispindala arvulise väärtusega avaldis.
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
Koostan teise võrrandi teades, et põhja raadiuse avaldis kordsel vähenemisel vähenes silindri täispindala avaldis võrra

Leian uue silindri põhja raadiuse, kui on teada, et silindri põhja raadius vähenes avaldis korda

avaldis
Selgitus
Silindri põhja raadiuse avaldis kordsel vähenemisel jagatakse silindri põhja raadiust arvuga avaldis või korrutatakse arvuga avaldis.

Leian uue silindri põhja pindala

avaldis
Selgitus

Silinder

Silinder

Silinder

Kui silindri raadius on avaldis ja silindri kõrgus on avaldis, siis silindri põhja pindala avaldis, külgpindala avaldis, täispindala avaldis ja ruumala avaldis avalduvad järgmiste valemite abil:

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Näide

Silindri raadius on avaldis ja kõrgus avaldis. Leia Silindri täispindala ja ruumala.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
Korrutises tegurite järjekord ei muuda tulemust.

Leian uue silindri külgpindala

avaldis
Selgitus

Silinder

Silinder

Silinder

Kui silindri raadius on avaldis ja silindri kõrgus on avaldis, siis silindri põhja pindala avaldis, külgpindala avaldis, täispindala avaldis ja ruumala avaldis avalduvad järgmiste valemite abil:

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Näide

Silindri raadius on avaldis ja kõrgus avaldis. Leia Silindri täispindala ja ruumala.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis

Leian uue silindri täispindala

avaldis
Selgitus

Silinder

Silinder

Silinder

Kui silindri raadius on avaldis ja silindri kõrgus on avaldis, siis silindri põhja pindala avaldis, külgpindala avaldis, täispindala avaldis ja ruumala avaldis avalduvad järgmiste valemite abil:

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Näide

Silindri raadius on avaldis ja kõrgus avaldis. Leia Silindri täispindala ja ruumala.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis

Leian uue silindri täispindala arvulise väärtuse

avaldis
Selgitus
Kuna algselt oli silindri täispindala avaldis ja põhja raadiuse avaldis kordsel vähenemisel vähenes täispindala avaldis võrra, siis uue täispindala leidmiseks tuleb esialgsest täispindalast avaldis lahutada avaldis.
avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Kuna uue silindri täispindala on avaldis, saan võrrandi:

avaldis
Selgitus
Võrdsustasin uue silindri täispindala avaldise tundmatute avaldis ja avaldis kaudu uue silindri täispindala arvulise väärtusega avaldis.
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
Moodustan võrrandisüsteemi ja leian sealt otsitavad tundmatud avaldis ja avaldis
avaldis
Selgitus
Moodustasin kahest leitud võrrandist võrrandisüsteemi.
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
Kui võrrandisüsteemi vasakud pooled on võrdsed, siis peavad olema võrdsed ka paremad pooled.
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus

Kuna lahend avaldis on võõrlahend, siis on silindri põhja raadiuse ainus sobiv väärtus:

avaldis
Selgitus
Silindri põhja raadius ei saa olla negatiivne.
avaldis
Selgitus
Asendasin leitud avaldis väärtuse avaldis võrrandisüsteemi esimesse võrrandisse, et leida sealt tundmatu avaldis.
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.

Vastus: Silindri põhja raadius on avaldis ja silindri kõrgus on avaldis.