Ülesanne 7 (15p)

Sirge avaldis läbib punkti avaldis ja on paralleelne sirgega avaldis. Sirge avaldis läbib punkti avaldis, on paralleelne x-teljega lõikub sirgega avaldis punktis avaldis. Sirge avaldis läbib punkti avaldis, on risti sirgega avaldis ning lõikub sirgetega avaldis ja avaldis vastavalt punktides avaldis ja avaldis.
1. Leidke sirgete avaldis, avaldis ja avaldis võrrandid.
2. Märkige koordinaatteljestikku kõik ülesande tekstis nimetatud punktid ja sirged.
3. Arvutage tekkinud nelinurga avaldis tippude avaldis ja avaldis koordinaadid.
4. Leidke ringjoone võrrand, mille keskpunkt asub lõigu avaldis keskpunktis ja millele sirge avaldis on puutujaks.

Vaata lahendust
1. Leian sirgete avaldis, avaldis ja avaldis võrrandid

Leian sirge avaldis tõusu

avaldis
Selgitus
Ülesandes on antud sirge avaldis võrrand avaldis.
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus

Sirge tõusu leidmine, kui on teada sirge võrrand

Kui sirge võrrand on kujul avaldis, siis sirge tõus on lineaarliikme avaldis kordaja:

avaldis

Näide

Leia sirge avaldis tõus.

avaldis
avaldis
avaldis

Leian sirgega avaldis paralleelse sirge tõusu

avaldis
Selgitus

Paralleelsete sirgete omadus

Paralleelsete sirgete tõusud on võrdsed:

avaldis

Näide

Leia sirgega avaldis paralleelse sirge tõus.

Leian antud sirge tõusu

avaldis
avaldis

Järelikult temaga paralleelse sirge tõus on:

avaldis

Leian sirge avaldis võrrandi

avaldis
Selgitus

Sirge võrrand ühe punkti ja sirge tõusu abil

Kui sirge läbib punkti avaldis ja tema tõus on avaldis, siis selle sirge võrrand on kujul:

avaldis

Näide

Leia sirge võrrand, kui ta läbib punkti avaldis ja tema tõus on avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib korrutada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi korrutades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul korrutasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.

Leian sirge avaldis võrrandi

avaldis
Selgitus
x-teljega paralleelse sirge võrrand on kujul avaldis, kus avaldis on mingi arv, mis näitab sirge kõrgust koordinaatide alguspunktist.Kuna sirge avaldis läbib punkti avaldis, mille avaldis koordinaat on avaldis, siis järelikult ongi sirge avaldis võrrand avaldis.

Leian sirgega avaldis ristuva sirge tõusu

avaldis
Selgitus

Ristuvate sirgete omadus

Ristuvate sirgete vahel kehtib seos:

avaldis

Näide

Leia sirgega avaldis risti oleva sirge tõus.

Leian antud sirge tõusu

avaldis
avaldis
avaldis

Järelikult temaga risti oleva sirge tõus on:

avaldis

Leian sirge avaldis võrrandi

avaldis
Selgitus

Sirge võrrand ühe punkti ja sirge tõusu abil

Kui sirge läbib punkti avaldis ja tema tõus on avaldis, siis selle sirge võrrand on kujul:

avaldis

Näide

Leia sirge võrrand, kui ta läbib punkti avaldis ja tema tõus on avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
avaldis

Vastus: Sirge avaldis võrrand on avaldis, sirge avaldis võrrand on avaldis ja sirge avaldis võrrand on avaldis.

2. Märgin koordinaatteljestikku kõik ülesande tekstis nimetatud punktid ja sirged
Sirged s, t, u ja f

Sirged s, t, u ja f

Selgitus
Joonise tegemisel kasutasin järgmises punktis leitud punktide avaldis, avaldis ja avaldis koordinaate.Sirge avaldis jaoks kasutasin punkte avaldis ja avaldis.Sirge avaldis jaoks kasutasin punkte avaldis ja avaldis.Sirge avaldis jaoks kasutasin punkte avaldis ja avaldis.Sirge avaldis jaoks kasutasin punkte avaldis ja avaldis.
3. Arvutan tekkinud nelinurga avaldis tippude avaldis ja avaldis koordinaadid

Leian sirge avaldis ja avaldis lõikepunkti avaldis

avaldis
Selgitus
Kahe sirge lõikepunkti leidmiseks tuleb moodustada kahe sirge võrrandist võrrandisüsteem ja see ära lahendada.
avaldis
Selgitus
Asendasin teisest võrrandist tundmatu avaldis võrrandisüsteemi esimesse võrrandisse.
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.

Järelikult on punkt avaldis:

avaldis
Selgitus
Punkti avaldis koordinaat on esimesel kohal ja avaldis koordinaat on teisel kohal.

Leian sirge avaldis ja avaldis lõikepunkti avaldis

avaldis
Selgitus
Kahe sirge lõikepunkti leidmiseks tuleb moodustada kahe sirge võrrandist võrrandisüsteem ja see ära lahendada.
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib korrutada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi korrutades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul korrutasin esimese võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus
Liidan ülevalt alla tundmatud avaldis:
avaldis
Liidan ülevalt alla tundmatud avaldis (avaldis korral koondus avaldis välja):
avaldis
Liidan ülevalt alla arvud:
avaldis
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus
Asendasin leitud avaldis väärtuse avaldis võrrandisüsteemi teise võrrandisse, et leida sealt teine tundmatu avaldis.
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.

Järelikult on punkt avaldis:

avaldis
Selgitus
Punkti avaldis koordinaat on esimesel kohal ja avaldis koordinaat on teisel kohal.

Leian sirge avaldis ja avaldis lõikepunkti avaldis

avaldis
Selgitus
Kahe sirge lõikepunkti leidmiseks tuleb moodustada kahe sirge võrrandist võrrandisüsteem ja see ära lahendada.
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib korrutada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi korrutades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul korrutasin esimese võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus
Liidan ülevalt alla tundmatud avaldis:
avaldis
Liidan ülevalt alla tundmatud avaldis (avaldis korral koondus avaldis välja):
avaldis
Liidan ülevalt alla arvud:
avaldis
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus
Asendasin leitud avaldis väärtuse avaldis võrrandisüsteemi teise võrrandisse, et leida sealt teine tundmatu avaldis.
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.

Järelikult on punkt avaldis:

avaldis
Selgitus
Punkti avaldis koordinaat on esimesel kohal ja avaldis koordinaat on teisel kohal.

Vastus: Punktide avaldis ja avaldis koordinaadid on avaldis ja avaldis.

4. Leian ringjoone võrrandi, mille keskpunkt asub lõigu avaldis keskpunktis ja millele sirge avaldis on puutujaks

Leian lõigu avaldis keskpunkti avaldis

avaldis
avaldis
Selgitus

Lõigu poolitamine

Kui avaldis ja avaldis, siis lõigu avaldis keskpunkt avaldis arvutatakse järgmiselt:

avaldis

Näide

Leia lõigu avaldis keskpunkt, kui avaldis ja avaldis.

avaldis
avaldis

Leian sirge avaldis tõusu

avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.

Järelikult sirge avaldis tõus on:

avaldis
Selgitus

Sirge tõusu leidmine, kui on teada sirge võrrand

Kui sirge võrrand on kujul avaldis, siis sirge tõus on lineaarliikme avaldis kordaja:

avaldis

Näide

Leia sirge avaldis tõus.

avaldis
avaldis
avaldis

Leian sirgega avaldis ristuva sirge tõusu

avaldis
Selgitus

Ristuvate sirgete omadus

Ristuvate sirgete vahel kehtib seos:

avaldis

Näide

Leia sirgega avaldis risti oleva sirge tõus.

Leian antud sirge tõusu

avaldis
avaldis
avaldis

Järelikult temaga risti oleva sirge tõus on:

avaldis

Kuna ringjoone puutuja on risti ringjoone raadiusega, siis on ka raadiuse tõus:

avaldis
Selgitus
Ringjoone puutuja on risti ringjoone raadiusega.

Leian raadiuse võrrandi

avaldis
Selgitus

Sirge võrrand ühe punkti ja sirge tõusu abil

Kui sirge läbib punkti avaldis ja tema tõus on avaldis, siis selle sirge võrrand on kujul:

avaldis

Näide

Leia sirge võrrand, kui ta läbib punkti avaldis ja tema tõus on avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
avaldis

Leian raadiuse ja sirge avaldis lõikepunkti

avaldis
Selgitus
Moodustasin raadiuse ja sirge avaldis võrrandist võrrandisüsteemi.
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib korrutada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi korrutades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul korrutasin võrrandisüsteemi teist võrrandit läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus
Liidan ülevalt alla tundmatud avaldis:
avaldis
Liidan ülevalt alla tundmatud avaldis (avaldis korral koondus avaldis välja):
avaldis
Liidan ülevalt alla arvud:
avaldis
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus
Asendasin leitud avaldis väärtuse avaldis võrrandisüsteemi teise võrrandisse, et leida sealt teine tundmatu avaldis.
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.

Järelikult on sirgel avaldis olev ringjoone punkt:

avaldis
Selgitus
Punkti avaldis koordinaat on esimesel kohal ja punkti avaldis koordinaat on teisel kohal.

Leian ringjoone raadiuse vektori avaldis koordinaadid

avaldis
Selgitus

Vektori koordinaadid

Punktid avaldis ja avaldis määravad ära vektori:

avaldis

Näide

Leia vektori avaldis koordinaadid, kui avaldis ja avaldis.

avaldis

Leian ringjoone raadiuse vektori avaldis pikkuse

avaldis
Selgitus

Vektori pikkus

Vektori avaldis pikkus on arvutatav valemiga:

avaldis

Näide

Leia vektori avaldis pikkus.

avaldis

Leian ringjoone võrrandi, mille keskpunkt asub lõigu avaldis keskpunktis avaldis ja mille raadius on avaldis

avaldis
Selgitus

Ringjoone võrrand

Kui ringjoone keskpunkt on avaldis ja ringjoone raadius on avaldis, siis on ringjoone võrrand kujul:

avaldis

Näide

Leia ringjoone võrrand, kui tema keskpunkt on avaldis ja raadius on avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
avaldis

Vastus: Ringjoone võrrand, mille keskpunkt asub lõigu avaldis keskpunktis ja millele sirge avaldis on puutujaks on avaldis.