Ülesanne 8 (20p)

On antud funktsiooni avaldis graafik.

f(x) = x + 2sinx graafik

f(x) = x + 2sinx graafik

1. Leidke joonise abil funktsiooni avaldis negatiivsuspiirkond lõigul avaldis.
2. Arvutage lõigul avaldis funktsiooni avaldis graafiku ekstreemumpunktide täpsed koordinaadid ja määrake nende liik.
3. Näidake, et kehtib võrdus avaldis, kus
avaldis.
4. Määrake parameetri avaldis kõik võimalikud väärtused, kui on teada, et funktsioonide avaldis ja avaldis graafikute lõikepunkti abtsiss on avaldis.

Vaata lahendust
1. Leian joonise abil funktsiooni avaldis negatiivsuspiirkonna lõigul avaldis
avaldis
Selgitus
Negativsuspiirkond on funktsiooni nende punktide hulk, mis asub x-teljest allpool.
2. Arvutan lõigul avaldis funktsiooni avaldis graafiku ekstreemumpunktide täpsed koordinaadid ja määran nende liigi

Leian funktsiooni avaldis tuletise

avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Ekstreemumid

avaldis

avaldis
avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis miinimumpunkti ja maksimumpunkti koordinaadid.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian ekstreemumpunktide avaldis koordinaadid.

avaldis
avaldis

Vastus:avaldis ja avaldis

avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus

Võrrandi cosx=m lahendamine

avaldis
avaldis

Näide

Leia võrrandi avaldis lahendid piirkonnas avaldis

avaldis
avaldis

Kui annan tundmatule väärtuse avaldis ja märgi avaldis asemele kirjutan + märgi, siis saan erilahendi:

avaldis

Kui annan tundmatule väärtuse avaldis ja märgi avaldis asemele kirjutan - märgi, siis saan erilahendi:

avaldis

Kui annan tundmatule väärtuse avaldis ja märgi avaldis asemele kirjutan + märgi, siis saan erilahendi:

avaldis

Kui annan tundmatule väärtuse avaldis ja märgi avaldis asemele kirjutan - märgi, siis saan erilahendi:

avaldis

Vastus:avaldis

avaldis
Selgitus
Suuruse avaldis kraadimõõdus annab meile kalkulaatoril järgmine klahvikombinatsioon:
avaldis
Kuna kraadi ja radiaanimõõdu vahel kehtib seos:
avaldis
On võimalik radiaanimõõdus nurga väärtus arvutada välja järgmiselt:
avaldis
avaldis
Selgitus
Üldvalemis kirjutasin avaldis asemele + märgi, mille jätsin rea algusesse kirjutamata.Tundmatu avaldis asemele panin arvu avaldis.
avaldis
Selgitus
Üldvalemis kirjutasin avaldis asemele - märgi.Tundmatu avaldis asemele panin arvu avaldis.
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian ekstreemumpunktide avaldis koordinaadid

avaldis
Selgitus
Asendasin ekstreemumpunkti avaldis koordinaadi avaldis algsesse funktsiooni avaldis.
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus
Kuna kehtib seos:
avaldis
Siis on võimalik suurus avaldis kahe nurga summa siinuse valemi ja trigonomeetriliste väärtuste tabeli abil võimalik välja arvutada järgmiselt:
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
Asendasin ekstreemumpunkti avaldis koordinaadi avaldis algsesse funktsiooni avaldis.
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus
Kuna kehtib seos:
avaldis
Siis on võimalik suurus avaldis kahe nurga summa siinuse valemi, trigonomeetriliste väärtuste tabeli ja kalkulaatori abil võimalik välja arvutada järgmiselt:
avaldis
avaldis
Suurused avaldis ja avaldis arvutasin välja kalkulaatori abil:
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

avaldis
Selgitus

Leian funktsiooni teise avaldis tuletise

avaldis
Selgitus

Määran ekstreemumite liigid

avaldis
Selgitus
Asendasin ekstreemumi avaldis teise tuletisse.
avaldis
Selgitus
Suurus avaldis on eelnevalt ülesandes välja arvutatud.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Ekstreemumid

avaldis

avaldis
avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis miinimumpunkti ja maksimumpunkti koordinaadid.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian ekstreemumpunktide avaldis koordinaadid.

avaldis
avaldis

Vastus:avaldis ja avaldis

avaldis
Selgitus
Asendasin ekstreemumi avaldis teise tuletisse.
avaldis
Selgitus
Suurus avaldis on eelnevalt ülesandes välja arvutatud.
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Ekstreemumid

avaldis

avaldis
avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis miinimumpunkti ja maksimumpunkti koordinaadid.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian ekstreemumpunktide avaldis koordinaadid.

avaldis
avaldis

Vastus:avaldis ja avaldis

Vastus: Funktsiooni avaldis maksimumpunkt on avaldis ja miinimumpunkt on avaldis.

Selgitus
Punkti avaldis koordinaat on esimesel kohal ja punkti avaldis koordinaat on teisel kohal.
3. Näitan, et kehtib võrdus avaldis, kus avaldis

Leian avaldise avaldis lihtsustatud kuju

avaldis
Selgitus
Antud juhul kasutasin valemit paremalt vasakule.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Leian avaldise avaldis lihtsustatud kuju

avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus
Kalkulaatori abil arvutatavad suurused:
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis

Leian avaldise avaldis lihtsustatud kuju

avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus
Kalkulaatori abil arvutatavad suurused:
avaldis
avaldis

Leian avaldise avaldis lihtsustatud kuju

avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus
Kalkulaatori abil arvutatavad suurused:
avaldis
avaldis

Leian avaldis lihtsustatud kuju

avaldis
Selgitus
Asendasin avaldiste avaldis, avaldis, avaldis ja avaldis lihtsustatud kujud funktsiooni avaldis üldkujusse:
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus: Funktsiooni avaldis väärtus on avaldis, nagu ülesandes oli ette antud.

4. Määran parameetri avaldis kõik võimalikud väärtused, kui on teada, et funktsioonide avaldis ja avaldis graafikute lõikepunkti abtsiss on avaldis

Leian avaldis

avaldis
Selgitus
Asendasin kahe joone lõikepunkti abtsissi avaldis funktsiooni avaldis üldkujusse:
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus
Kalkulaatori abil arvutades:
avaldis

Leian avaldis

avaldis
Selgitus
Asendasin kahe joone lõikepunkti abtsissi avaldis funktsiooni avaldis üldkujusse:
avaldis
avaldis
Selgitus
Ülesandes on antud funktsiooni avaldis kuju:
avaldis
Järelikult on funktsiooni avaldis kuju:
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus
Kalkulaatori abil leitavad suurused:
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis

Võrdsustades funktsioonide avaldis ja avaldis avaldised, saan võrrandi:

avaldis
Selgitus
Joonte avaldis ja avaldis lõikepunkti leidmiseks tuleb lahendada võrrand:
avaldis
Antud juhul on lõikepunkt avaldis antud ning funktsioonide avaldiste arvutamisel ka ära kasutatud ja eesmärk hoopis leida antud võrrandist parameeter avaldis.
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
avaldis
Selgitus

Vastus: Selleks, et funktsioonide avaldis ja avaldis lõikepunkti abtsiss oleks avaldis peab olema parameetri avaldis väärtus avaldis või avaldis.