Ülesanne 9 (20p)

Kerasse raadiusega avaldis on kujundatud korrapärane kolmnurkne püramiid nii, et kõik püramiidi tipud puudutavad kera pinda.
1. Kui kaugel kera keskpunktist peab asuma püramiidi põhi, et püramiidi ruumala oleks maksimaalne?
2. Leidke püramiidi ja kera ruumalade suhe.

Vaata lahendust
1. Kui kaugel kera keskpunktist peab asuma püramiidi põhi, et püramiidi ruumala oleks maksimaalne?

Teen joonise kera ja kerasse kujundatud korrapärase kolmnurkse püramiidi telglõikest

Kera sisse kujundatud püramiidi telglõige

Kera sisse kujundatud püramiidi telglõige

Selgitus
Kera raadius avaldis on ülesandes antud (märkisin antud joonisel kera raadiuse avaldis telglõikel oleval kolmnurgal kolmnurga keskpunktist kolmnurga ülemisse tippu ja kolmnurga keskpunktist kolmnurga vasakusse tippu.Tundmatuga avaldis tähistasin püramiidi põhja kauguse kera keskpunktist.Tundmatuga avaldis tähistasin püramiidi põhja ümber kujundatud ringi raadiuse.

Lõikan antud jooniselt välja täisnurkse kolmnurga, et leida sealt püramiidi põhja ümber kujundatud ringi raadiuse avaldis

Täisnurkne kolmnurk nr. 24

Täisnurkne kolmnurk nr. 24

avaldis
Selgitus

Pythagorase teoreem

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

avaldis

Näited

1) Täisnurkse kolmnurga kaatetid on avaldis ja avaldis. Leia täisnurkse kolmnurga hüpotenuus.

avaldis
avaldis

2) Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on avaldis ja üks kaatetitest on avaldis. Leia täisnurkse kolmnurga teine kaatet.

avaldis
avaldis

Teen joonise püramiidi põhjast ja tema ümber kujundatud kera raadiusest

Püramiidi põhi ja tema ümber konstruueritud ring

Püramiidi põhi ja tema ümber konstruueritud ring

Selgitus
Tundmatu avaldis on püramiidi põhja ümber kujundatud ringi raadius (märkisin antud joonisel ringi raadiuse avaldis põhja keskpunktist kolmnurga ülemisse tippu ja põhja keskpunktist kolmnurga vasakusse tippu.Tundmatuga avaldis tähistasin püramiidi põhserva.Kuna võrdhaarse (järelikult ka võrdkülgse) kolmnurga kõrgus poolitab kolmnurga aluse, siis on pool alusest pikkusega avaldis.Kuna kolmnurga mediaanide lõikepunkt jaotab mediaanid suhtes avaldis alates alusest, siis on keskpunktist alumine osa ülemisest osast avaldis korda väiksem, ehk avaldis (võrdkülgse kolmnurga kõrgus ühtib mediaaniga).

Lõikan antud jooniselt välja täisnurkse kolmnurga, et leida sealt seos tundmatute avaldis ja avaldis vahel

Täisnurkne kolmnurk nr. 23

Täisnurkne kolmnurk nr. 23

avaldis
Selgitus

Pythagorase teoreem

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

avaldis

Näited

1) Täisnurkse kolmnurga kaatetid on avaldis ja avaldis. Leia täisnurkse kolmnurga hüpotenuus.

avaldis
avaldis

2) Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on avaldis ja üks kaatetitest on avaldis. Leia täisnurkse kolmnurga teine kaatet.

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
Arvu teisendamisel murruks tuleb arvule murrujoon ja arv avaldis all kirjutada.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Antud juhul kasutasin mõlemat valemit paremalt vasakule.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib korrutada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi korrutades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul korrutasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus
Kui kehtib seos avaldis, siis kehtib ka seos avaldis.

Kasutades ülesandes eelnevalt leitud seost saan:

avaldis
Selgitus
Asendasin just leitud avaldis väärtuse avaldis eelnevalt leitud seosesse:
avaldis
avaldis
Selgitus
Kui kehtib seos avaldis, siis kehtib ka seos avaldis.
avaldis
Selgitus

Teen püramiidi põhjast joonise, et selle abil leida püramiidi põhja pindala

Võrdhaarne kolmnurk nr. 1

Võrdhaarne kolmnurk nr. 1

Selgitus
Püramiidi põhiserv on eelnevalt tähistatud tundmatuga avaldis.Tähistan püramiidi põhja kõrgus tundmatuga avaldis.
Täisnurkne kolmnurk nr. 25

Täisnurkne kolmnurk nr. 25

Selgitus
Antud täisnurkse kolmnurga alumine kaatet on põhiservast avaldis pool, ehk avaldis.
avaldis
Selgitus

Pythagorase teoreem

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

avaldis

Näited

1) Täisnurkse kolmnurga kaatetid on avaldis ja avaldis. Leia täisnurkse kolmnurga hüpotenuus.

avaldis
avaldis

2) Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on avaldis ja üks kaatetitest on avaldis. Leia täisnurkse kolmnurga teine kaatet.

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
Arvu teisendamisel murruks, tuleb arvule murrujoon ja arv avaldis alla kirjutada.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Kasutasin mõlemat valemit paremalt vasakule.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Kolmnurk

Kolmnurk

Kolmnurk

Kui kolmnurga alus on avaldis ja temale tõmmatud kõrgus on avaldis, siis tema pindala arvutatakse järgmise valemiga:

avaldis

Näide

Kolmnurga alus on avaldis ja temale tõmmatud kõrgus on avaldis. Leia selle kolmnurga pindala.

avaldis
avaldis
Selgitus
Murrujoone võib asendada jagamismärgiga.
avaldis
Selgitus
Asendasin eelnevalt leitud avaldis antud seosesse.
avaldis
Selgitus
Arvu teisendamisel murruks, tuleb arvule murrujoon ja arv avaldis alla kirjutada.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
Asendasin eelnevalt leitud avaldis antud seosesse.
avaldis
Selgitus

Leian püramiidi kõrguse

avaldis
Selgitus
Kera sisse kujundatud püramiidi telglõike jooniselt on näha, et püramiidi kõrgus on võrdne lõikude avaldis ja avaldis summaga.

Leian püramiidi ruumala funktsiooni

avaldis
Selgitus

Püramiidi ruumala

Püramiid nr. 1

Püramiid nr. 1

Kui püramiidi põhja pindala on avaldis ja püramiidi kõrgus on avaldis, siis püramiidi ruumala avaldis on arvutatav valemiga:

avaldis

Näide

Püramiidi põhja pindala on avaldis ja püramiidi kõrgus on avaldis. Leia püramiidi ruumala.

avaldis
avaldis
Selgitus
Asendasin eelnevalt leitud avaldis ja avaldis antud seosesse.
avaldis
Selgitus
Arvu teisendamisel murruks tuleb arvule murrujoon ja arv avaldis all kirjutada.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

avaldis
Selgitus
Antud juhul kasutasin valemit paremalt vasakule.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Leian ruumala funktsiooni tuletise

avaldis
Selgitus

Leian ruumala funktsiooni ekstreemumid

avaldis
Selgitus

Ekstreemumid

avaldis

avaldis
avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis miinimumpunkti ja maksimumpunkti koordinaadid.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian ekstreemumpunktide avaldis koordinaadid.

avaldis
avaldis

Vastus:avaldis ja avaldis

avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus

Liikmete järjekorra muutmine

Liikmete järjekorda võib hulkliikmes muuta, kui iga liikme ette jääb sama märk.

Näide

Hulkliige avaldis on samaväärne hulkliikmega avaldis.

avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Antud juhul kasutasin valemit paremalt vasakule.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
Lugesin lahendis märgi avaldis asemele + märgi.
avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

avaldis
Selgitus
Lugesin lahendis märgi avaldis asemele - märgi.
avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Kuna lahend avaldis on võõrlahend, siis on ainus püramiidi ruumala ekstreemumi avaldis väärtus:

avaldis
Selgitus
Püramiidi põhja kaugus kera keskpunktist ei saa olla negatiivne.

Leian püramiidi ruumala funktsiooni teise tuletise

avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Määran püramiidi ruumala funktsiooni ekstreemumi liigi

avaldis
Selgitus
Asendasin ainsa sobiva ekstreemumi avaldis teise tuletisse.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Ekstreemumid

avaldis

avaldis
avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis miinimumpunkti ja maksimumpunkti koordinaadid.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian ekstreemumpunktide avaldis koordinaadid.

avaldis
avaldis

Vastus:avaldis ja avaldis

Vastus: Selleks, et püramiidi ruumala oleks maksimaalne, peab püramiidi põhi olema kera keskpunktist kaugusel avaldis.

2. Leian püramiidi ja kera ruumalade suhte

Leian püramiidi ruumala

avaldis
Selgitus
Asendasin leitu ekstreemumi avaldis ruumala funktsiooni tundmatu avaldis asemele.
avaldis
Selgitus
Arvu teisendamisel murruks tuleb arvule murrujoon ja arv avaldis all kirjutada.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Leian kera ruumala

avaldis
Selgitus

Kera

Kera

Kera

Kui kera raadius on avaldis, siis kera pindala avaldis ja ruumala avaldis avalduvad järgmiste valemite abil:

avaldis
avaldis

Näide

Kera raadius on avaldis. Leia kera pindala ja ruumala.

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Leian püramiidi ja kera ruumalade suhte

avaldis
Selgitus
Kahe arvu suhe on nende arvude jagatis.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Vastus: Püramiidi ja kera ruumalade suhe on avaldis.