Ülesanne 8 (10p)

On antud funktsiooni avaldis graafik (vt. joonist).
1. Leidke funktsiooni avaldis nullkohad ja positiivsuspiirkond.
2. Arvutage funktsiooni avaldis miinimumpunkti koordinaadid.
3. Arvutage kõikide selliste punktide koordinaadid, mille korral kehtib võrdus avaldis.

Kuupfunktsioon 7

Kuupfunktsioon 7

Vaata lahendust
1. Leian funktsiooni avaldis nullkohad ja positiivsuspiirkonna
avaldis
Selgitus

Nullkohad

avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis nullkohad.

avaldis
avaldis
avaldis

Vastus:avaldis

avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib korrutada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi korrutades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul korrutasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Võrrandi ab=0 lahendamine

avaldis

Näide

avaldis

Antud võrrandit võib lahendada kahe järgmise võrrandi eraldi lahendamise teel.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Arvu ruut on avaldis vaid siis, kui arv ise on avaldis.
avaldis
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
Loetlesin lahendid hulgamärkide vahel.
avaldis
Selgitus

Positiivsuspiirkond

avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis positiivsuspiirkond.

avaldis

Leian nullkohad

avaldis
avaldis
avaldis
Joonis 2

Joonis 2

Vastus:avaldis

Joonis 24

Joonis 24

Selgitus
Kui nullkohad on leitud, siis antud joonis tehakse järgmiste põhimõtete järgi:

1) Kantakse nullkohad kasvavas järjekorras arvteljele.
2) Valitakse suvaline piirkond ja kontrollitakse suvalise arvuga, sellest piirkonnast, kas selles piirkonnas on funktsiooni väärtus positiivne või negatiivne. Vastavalt sellele tõmmatakse joon kas alla või ülespoole telge.
3) Seejärel veetakse joon nullkohani ja sõltuvalt sellest kas antud nullkoht on paaris- või paaritu arvulise kordsusega, põrgatakse nullkohast tagasi või läbitakse telg, kuni kõik nullkohad on läbitud.

Antud ülesandes tehakse joonis järgmiste põhimõtete järgi:

1) Kannan nullkohad avaldis ja avaldis kasvavas järjekorras arvkiirele.
2) Seejärel vaatlen kõige parempoolset piirkonda, kontrollides arvuga avaldis, kas seal piirkonnas on funktsioon positiivne või negatiivne.

avaldis

Järelikult hakkan joont vedama ülevalt poolt telge.
3) Kuna lahend avaldis on kahekordne, ehk paarisarvuline ja avaldis on ühekordne, ehk paarituarvuline, siis avaldis juures põrkab joon telje juures tagasi ja avaldis juures ta läbib telge.

avaldis
Selgitus
Lugesin vastuse järgmise põhimõtte alusel:

1) Teljest ülevalpool asuvad punktid on positiivsed (suurem nullist).
2) Telje peal asuvad punktid on võrdsed nulliga.
3) Allpool asuvad punktid on negatiivsed (väiksem nullist).

Kuna hetkel otsisin positiivsuspiirkonda, siis lugesin vastusesse joone need punktid, mis asuvad üleval pool telge.

Vastus: Funktsiooni avaldis nullkohad on avaldis ja positiivsuspiirkond on avaldis.

2. Arvutan funktsiooni avaldis miinimumpunkti koordinaadid

Leian funktsiooni avaldis tuletise

avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

avaldis
Selgitus

Ekstreemumid

avaldis

avaldis
avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis miinimumpunkti ja maksimumpunkti koordinaadid.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian ekstreemumpunktide avaldis koordinaadid.

avaldis
avaldis

Vastus:avaldis ja avaldis

avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib korrutada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi korrutades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul korrutasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Võrrandi ab=0 lahendamine

avaldis

Näide

avaldis

Antud võrrandit võib lahendada kahe järgmise võrrandi eraldi lahendamise teel.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Pole midagi lahendada. Võrrandi esimene lahend on leitud.
avaldis
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus

Leian funktsiooni avaldis teise tuletise

avaldis
Selgitus
Teise tuletise leidmiseks tuleb esimesest tuletisest omakorda tuletis võtta.

Määran ekstreemumite liigid

avaldis
Selgitus

Ekstreemumid

avaldis

avaldis
avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis miinimumpunkti ja maksimumpunkti koordinaadid.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian ekstreemumpunktide avaldis koordinaadid.

avaldis
avaldis

Vastus:avaldis ja avaldis

avaldis
Selgitus
Asendasin ekstreemumi avaldis teise tuletisse.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Ekstreemumid

avaldis

avaldis
avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis miinimumpunkti ja maksimumpunkti koordinaadid.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian ekstreemumpunktide avaldis koordinaadid.

avaldis
avaldis

Vastus:avaldis ja avaldis

Leian miinimumpunkti avaldis koordinaadi

avaldis
Selgitus
Kui avaldis koordinaat on teada, siis avaldis koordinaadi leidmiseks tuleb avaldis koordinaat asendada algsesse funktsiooni.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Vastus: Funktsiooni miinimumpunkt on avaldis.

Selgitus
Punkti avaldis koordinaat on esimesel kohal ja avaldis koordinaat on teisel kohal.
3. Arvutan kõikide selliste punktide koordinaadid, mille korral kehtib võrdus avaldis

Leian kõikide selliste punktide avaldis koordinaadid

avaldis
Selgitus
Võrdsustasin eelnevalt leitud funktsiooni tuletise avaldis avaldisega avaldis.
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib korrutada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi korrutades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul korrutasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Võrrandi ab=0 lahendamine

avaldis

Näide

avaldis

Antud võrrandit võib lahendada kahe järgmise võrrandi eraldi lahendamise teel.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Pole midagi lahendada. Võrrandi esimene lahend on leitud.
avaldis
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus

Leian kõikide selliste punktide avaldis koordinaadid

avaldis
Selgitus
Kui avaldis koordinaat on teada, siis avaldis koordinaadi leidmiseks tuleb avaldis koordinaat asendada algsesse funktsiooni.
avaldis
Selgitus
Kui avaldis koordinaat on teada, siis avaldis koordinaadi leidmiseks tuleb avaldis koordinaat asendada algsesse funktsiooni.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Vastus: Punktid, mille korral kehtib võrdus avaldis on avaldis ja avaldis.

Selgitus
Punkti avaldis koordinaat on esimesel kohal ja avaldis koordinaat on teisel kohal.