Ülesanne 10 (10p)

Perekond Kuusk jälgis 2013. aasta 1. jaanuarist 2014. aasta 31. detsembrini, kui palju kulus neil toidukaupade ostmiseks. Selgus, et vaadeldud perioodil kulus perel igas kuus ühe ja sama summa võrra rohkem raha, kui eelmises kuus.
1. 2013. aasta esimesel kahel kuul kulus perel toidukaupade ostmiseks kokku avaldis eurot ja 2014. aasta märtsis avaldis eurot. Kui palju raha kulus perel toidukaupade ostmiseks 2014. aasta detsembris?
2. Kui palju kulus perel vaadeldud perioodil toidukaupade ostmiseks keskmiselt ühes kuus?
3. Mitme protsendi võrra oli 2014. aasta detsembrikuu kulu suurem 2013. aasta jaanuarikuu kulust?

Vaata lahendust
1. Kui palju raha kulus perel toidukaupade ostmiseks 2014. aasta detsembris?

Kuna vaadeldud perioodil kulus perel igas kuus ühe ja sama summa võrra rohkem raha, kui eelmises kuus, moodustab igas kuus toidukaupadele kulunud rahasummad aritmeetilise jada.

Selgitus
Arvujada, milles iga liikme ja temale eelneva liikme vahe on konstantne nimetatakse aritmeetiliseks jadaks.

Tähistan esimesel kuul toidukaupadele kulunud rahasumma tundmatuga avaldis ja igal kuul ühe ja sama summa võrra suurenenud kulu tähistan tundmatuga avaldis.

Selgitus
Aritmeetilise jada esimest liiget tähistatakse tundmatuga avaldis ning iga liikme ja temale eelneva liikme konstatnset vahet tähistatakse tundmatuga avaldis.

Esimesel kuul kulus perel toidukaupadele avaldis eurot.

Selgitus
Esimesel kuul kulunud rahasumma tähistasin tundmatuga avaldis.

Teisel kuul kulus perel toidukaupadele avaldis eurot.

Selgitus
Teisel kuul kulunud rahasumma leidmiseks tuleb esimesel kuul kulunud rahasummale avaldis juurde liita igal kuul rohkem kulunud rahasumma avaldis.

Kuna kahel esimesel kuul kulus perel avaldis eurot, siis saan võrrandi:

avaldis
Selgitus
Kahel esimesel kuul kulunud rahasumma leidmiseks tuleb liita esimesel ja teisel kuul kulunud rahasumma.
avaldis
Selgitus
Kui sulu ees on + märk, siis võib sulud lihtsalt ära võtta.
avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Kuna 2014. aasta märtsis (viieteistkümnendal kuul) avaldis eurot, siis saan võrrandi:

avaldis
Selgitus
Viieteistkümnendal kuul kulunud rahasumma leidmiseks tuleb esimesel kuul kulunud rahasummale avaldis juurde liita neljateistkümne kordne igal kuul rohkem kulunud rahasumma avaldis.

Saan süsteemi:

avaldis
Selgitus
Moodustasin kahest leitud võrrandist võrrandisüsteemi.
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib korrutada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi korrutades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul korrutasin teise võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus
Liitsin ülevalt alla tundmatud avaldis (avaldis korral koondus avaldis välja):
avaldis
Liitsin ülevalt alla tundmatud avaldis:
avaldis
Liitsin ülevalt alla arvud:
avaldis
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus
Asendasin leitud avaldis väärtuse avaldis võrrandisüsteemi võrrandisse:
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
avaldis

Leian 2014. aasta detsembris (kahekümneneljandal kuul) toidukaupadele kulunud rahasumma

avaldis
Selgitus

Aritmeetilise jada üldliikme valem

avaldis

avaldis on jada üldliige järjekorra numbriga avaldis
avaldis on jada esimene liige
avaldis on aritmeetilise jada vahe
avaldis on jada liikme järjekorra number.

Näide

Leia aritmeetilise jada avaldis viiekümnes liige.

avaldis
avaldis

Vastus: Perel kulus 2014. aasta detsembris toidukaupadele avaldis eurot.

2. Kui palju kulus perel vaadeldud perioodil toidukaupade ostmiseks keskmiselt ühes kuus?

Leian 2013. aasta 1. jaanuarist kuni 2014. aasta 31. detsembrini (24. kuud) kokku toidukaupadele kulunud rahasumma

avaldis
Selgitus

Aritmeetilise jada esimese n-liikme summa valem 2

avaldis

avaldis on jada esimese avaldis liikme summa
avaldis on jada esimene liige
avaldis on aritmeetilise jada vahe
avaldis on jada liikme järjekorra number.

Näide

Leia aritmeetilise jada avaldis kolmekümneühe esimese liikme summa.

avaldis
avaldis

Leian 2013. aasta 1. jaanuarist kuni 2014. aasta 31. detsembrini (24. kuud) keskmiselt ühes kuus toidukaupadele kulunud rahasumma

avaldis
Selgitus
Keskmiselt ühes kuus kulunud rahasumma leidmiseks tuleb kulunud rahasumma (avaldis eurot) jagada vaadeldud perioodil olevate kuude arvuga (avaldis kuud).

Vastus: Vaadeldud perioodil kulus perel keskmiselt ühes kuus avaldis eurot.

3. Mitme protsendi võrra oli 2014. aasta detsembrikuu kulu suurem 2013. aasta jaanuarikuu kulust?

Mitu protsenti moodustab 2014. aasta detsembrikuu kulu 2013. aasta jaanuarikuu kulust?

avaldis
Selgitus

Mitu protsenti moodustab arv a arvust b?

avaldis

Näide

Mitu protsenti moodustab arv avaldis arvust avaldis?

avaldis

Mitme protsendi võrra oli 2014. aasta detsembrikuu kulu suurem 2013. aasta jaanuarikuu kulust?

avaldis
Selgitus
Kui üks arv moodustab teisest arvust avaldis, siis on see arv teisest arvust avaldis, ehk avaldis suurem.

Vastus: 2014. aasta detsembrikuu kulu oli avaldis suurem 2013. aasta jaanuarikuu kulust.