Ülesanne 8 (10p)

1. Arvutage funktsiooni avaldis nullkohad ja graafiku haripunkti koordinaadid ning konstrueerige funktsiooni graafik.
2. On antud funktsioon avaldis. Arvutage selle funktsiooni ekstreemumkohad ja leidke kasvamisvahemik.

Koordinaatteljestik 1

Koordinaatteljestik 1

Vaata lahendust
1. Arvutan funktsiooni avaldis nullkohad ja graafiku haripunkti koordinaadid ning konstrueerin funktsiooni graafiku
avaldis
Selgitus

Nullkohad

avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis nullkohad.

avaldis
avaldis
avaldis

Vastus:avaldis

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
Loetlesin leitud nullkohad hulgamärkide vahel.

Leian haripunkti

avaldis
Selgitus
Kui ruutfunktsiooni avaldis nullkohad on avaldis ja avaldis, siis haripunkti avaldis koordinaadi leidmiseks kehtib valem:
avaldis
Näide: Leia ruutfunktsiooni avaldis haripunkti avaldis koordinaat.

Leian nullkohad

avaldis
avaldis
avaldis

Leian haripunkti avaldis koordinaadi

avaldis
avaldis
Selgitus
Kui avaldis koordinaat on teada, siis avaldis koordinaadi leidmiseks tuleb avaldis koordinaat asendada algsesse funktsiooni.

Järelikult on parabooli haripunkt kujul:

avaldis
Selgitus
Punkti avaldis koordinaat on esimesel kohal ja avaldis koordinaat on teisel kohal.

Funktsiooni avaldis väärtuste tabel

avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Ruutfunktsioon nr. 1

Ruutfunktsioon nr. 1

Vastus: Funktsiooni avaldis nullkohad on avaldis ja haripunkt on avaldis.

2. Arvutan funktsiooni avaldis ekstreemumkohad ja kasvamisvahemiku

Leian funktsiooni avaldis tuletise

avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Ekstreemumid

avaldis

avaldis
avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis miinimumpunkti ja maksimumpunkti koordinaadid.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian ekstreemumpunktide avaldis koordinaadid.

avaldis
avaldis

Vastus:avaldis ja avaldis

avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Võrrandi ab=0 lahendamine

avaldis

Näide

avaldis

Antud võrrandit võib lahendada kahe järgmise võrrandi eraldi lahendamise teel.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Pole midagi lahendada. Võrrandi esimene lahend on leitud.
avaldis
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.

Leian funktsiooni avaldis teise tuletise

avaldis
Selgitus

Määran ekstreemumite liigid

avaldis
avaldis
Selgitus

Ekstreemumid

avaldis

avaldis
avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis miinimumpunkti ja maksimumpunkti koordinaadid.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian ekstreemumpunktide avaldis koordinaadid.

avaldis
avaldis

Vastus:avaldis ja avaldis

Järelikult on funktsiooni ekstreemumkohad:

avaldis
Selgitus
Ekstreemumkohad on funktsiooni ekstreemumpunktide (maksimum või miinimum) avaldis koordinaadid.

Leian funktsiooni avaldis kasvamisvahemiku

avaldis
Selgitus

Kasvamispiirkond

avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis kasvamispiirkond.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus:avaldis

avaldis
Selgitus
Ruutvõrratuse lahendamine:1) Asendan võrratusemärgi võrdusmärgiga, et leida nullkohad.

2) Seejärel tuleb need nullkohad kanda kasvavas järjekorras arvteljele ja joonistada nullkohtadest läbi parabool:
a) kui liikme avaldis ees olev arv on positiivne, siis avanevad parabooli haarad ülespoole;
b) kui liikme avaldis ees olev arv on negatiivne, siis avanevad parabooli haarad allapoole.
3) Loen jooniselt vastavalt võrratuse märgile vastuse:
a) kõik graafiku punktid, mis asuvad teljest üleval pool, annavad ruutfunktsioonile positiivse väärtuse (suurem nullist);
b) kõik punktid, mis asuvad telje peal, annavad ruutfunktsioonile väärtuse avaldis (võrdne nulliga);
c) kõik graafiku punktid, mis asuvad teljest allpool, annavad ruutfunktsioonile negatiivse väärtuse (väiksem nullist).

avaldis
Selgitus
Eelnevalt ülesandes leitud.
Joonis 29

Joonis 29

Järelikult funktsiooni kasvamisvahemik on:

avaldis
Selgitus
Kuna oli vaja lahendada võrratus funktsioon on suurem nullist, siis lugesin vastusesse kõik joone punktid, mis asuvad ülevalpool telge.

Vastus: Funktsiooni ekstreemumkohad on avaldis ja avaldis ning kasvamisvahemik on avaldis.