Ülesanne 12 (10p)

Telk on korrapärase nelinurkse püramiidi kujuline (vaata joonist). Telgi külgpindala on avaldis ja põhja pindala on avaldis.
1. Arvutage telgi põhiserv ja külgserv.
2. Tähistage joonisel nurk põhiserva ja külgserva vahel ning arvutage see.
3. Arvutage telgi ruumala. Lõppvastus andke täpsusega avaldis.

Püramiid nr. 5

Püramiid nr. 5

Vaata lahendust
1. Arvutan telgi põhiserva ja külgserva

Tähistan püramiidi põhiserva tundmatuga a ja teen jonise püramiidi põhjast

Korrapärase nelinurkse püramiidi põhi nr. 1

Korrapärase nelinurkse püramiidi põhi nr. 1

Selgitus
Korrapärase nelinurkse püramiidi põhjaks on ruut küljega avaldis.

Leian ruudu pindala valemi põhjal püramiidi põhiserva avaldis

avaldis
Selgitus

Ruut

Ruut

Ruut

Kui ruudu külg on avaldis, siis tema ümbermõõt avaldis ja pindala avaldis on arvutatav valemitega:

avaldis
avaldis

Näide

Ruudu külg on avaldis. Leia selle ruudu ümbermõõt ja pindala.

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Kuna võrrandi lahend avaldis on võõrlahend, siis püramiidi põhiserva ainus võimalik väärtus on:

avaldis
Selgitus
Püramiidi põhiserv ei saa olla negatiivne.

Leian külgpindala valemi põhjal apoteemi avaldis

avaldis
Selgitus

Korrapärase püramiidi pindalad

Püramiid nr. 2

Püramiid nr. 2

Kui korrapärase avaldis nurkse püramiidi põhiserv on avaldis, moodustaja(lõik püramiidi tipust põhiserva keskpunkti) on avaldis ja põhja apoteem(lõik püramiidi põhja keskpunktist põhiserva keskpunkti) on avaldis, siis selle püramiidi külgpindala avaldis ja täispindala avaldis avalduvad järgmiste valemite abil:

avaldis
avaldis

Näide

Korrapärase nelinurkse püramiidi põhiserv on avaldis, moodustaja on avaldis, kõrgus on avaldis ja põhja apoteem avaldis. Leia püramiidi täispindala ja ruumala.

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.

Täiendan püramiidi joonist püramiidi külgservaga avaldis

Püramiid nr. 6

Püramiid nr. 6

Selgitus
Püramiidi külgserva tähistasin tundmatuga avaldis.Püramiidi põhiserv avaldis pikkusega avaldis on ülesandes eelnevalt leitud.Püramiidi apoteem avaldis pikkusega avaldis on ülesandes eelnevalt leitud.

Teen joonise täisnurksest kolmnurgast, et leida sealt püramiidi külgserv avaldis

Täisnurkne kolmnurk nr. 80

Täisnurkne kolmnurk nr. 80

Selgitus
Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on püramiidi põhiserv avaldis.Täisnurkse kolmnurga üks kaatet pikkusega avaldis on pool püramiidi põhiservast pikkusega avaldis.Täisnurkse kolmnurga teine kaatet on püramiidi apoteem pikkusega avaldis.
avaldis
Selgitus

Pythagorase teoreem

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

avaldis

Näited

1) Täisnurkse kolmnurga kaatetid on avaldis ja avaldis. Leia täisnurkse kolmnurga hüpotenuus.

avaldis
avaldis

2) Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on avaldis ja üks kaatetitest on avaldis. Leia täisnurkse kolmnurga teine kaatet.

avaldis
avaldis

Vastus: Telgi põhiserv on avaldis ja külgserv on avaldis.

2. Tähistan joonisel nurga põhiserva ja külgserva vahel ning arvutage selle

Tähistan joonisel nurga põhiserva ja külgserva vahel

Püramiid nr. 7

Püramiid nr. 7

Selgitus
Tähistasin püramiidi põhiserva ja külgserva vahelise nurga tundmatuga avaldis.

Teen joonise täisnurksest kolmnurgast, et leida sealt tundmatu avaldis

Täisnurkne kolmnurk nr. 81

Täisnurkne kolmnurk nr. 81

Selgitus
Kandsin tundmatu avaldis täisnurksele kolmnurgale, millest leidsin eelmises alaülesandes külgserva avaldis.
avaldis
Selgitus

Külgede ja nurkade vahelised trigonomeetrilised seosed

Täisnurkne kolmnurk

Täisnurkne kolmnurk

avaldis

Näited

1) Täisnurkse kolmnurga üks teravnurkadest on avaldis ja hüpotenuus on avaldis. Leia selle teravnurga vastaskaatet.

avaldis
avaldis

2) Leia täisnurkse kolmnurga teravnurk (täpsusega avaldis), kui tema vastaskaatet on avaldis ja lähiskaatet on avaldis.

avaldis
avaldis

Kui avaldis on välja arvutatud, siis avaldis leidmiseks tuleb kalkulaatoril vajutada järgmine klahvikombinatsioon:

avaldis
avaldis
Selgitus
Kui avaldis väärtus avaldis on teada, siis nurga avaldis aitab leida kalkulaatoril järgmine klahvikombinatsioon:
avaldis

Vastus: Põhiserva ja külgserva vaheline nurk on avaldis.

3. Arvutan telgi ruumala

Teen joonise täisnurksest kolmnurgast, et leida sealt püramiidi kõrgus avaldis

Täisnurkne kolmnurk nr. 82

Täisnurkne kolmnurk nr. 82

Selgitus
Täisnurkse kolmnurga üks kaatet on püramiidi kõrgus avaldis.Täisnurkse kolmnurga teine kaatet pikkusega avaldis on pool püramiidi põhiservast pikkusega avaldis.Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on püramiidi apoteem pikkusega avaldis.
avaldis
Selgitus

Pythagorase teoreem

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

avaldis

Näited

1) Täisnurkse kolmnurga kaatetid on avaldis ja avaldis. Leia täisnurkse kolmnurga hüpotenuus.

avaldis
avaldis

2) Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on avaldis ja üks kaatetitest on avaldis. Leia täisnurkse kolmnurga teine kaatet.

avaldis
avaldis

Leian püramiidi ruumala

avaldis
Selgitus

Püramiidi ruumala

Püramiid nr. 1

Püramiid nr. 1

Kui püramiidi põhja pindala on avaldis ja püramiidi kõrgus on avaldis, siis püramiidi ruumala avaldis on arvutatav valemiga:

avaldis

Näide

Püramiidi põhja pindala on avaldis ja püramiidi kõrgus on avaldis. Leia püramiidi ruumala.

avaldis
Antud ülesandes on nõutud ümardamine täpsusega avaldis.

Vastus: Telgi ruumala on avaldis.