Ülesanne 5 (10p)

Ajakirjas oli loogikaülesanne, mille lahendajad võisid saada auhindu. Oma lahenduse saatis avaldis erinevat inimest ja lahenduse eest jagati punkte järgmiselt:

avaldis

Nende lahendajate vahel, kelle tulemus oli keskmisest lahendustulemusest suurem, loositi välja kaks ühesugust auhinda.
1. Koostage lahendustulemuste põhjal sagedustabel. Mitu lahendajat osales auhindade loosimisel?
2. Mitmel erineval viisil võis jagada kaks auhinda?
3. Kui suur oli tõenäosus, et auhinna sai lahendaja, kelle tulemus oli avaldis punkti?
4. Kui suur oli tõenäosus, et auhinnad läksid kahele parimale lahendajale?

Vaata lahendust
1. Koostan lahendustulemuste põhjal sagedustabeli ja leian auhindade loosimisel osalenud lahendajate arvu

Koostan lahendustulemuste põhjal sagedustabeli

avaldis
Selgitus
Tulemuse avaldis punkti sai avaldis lahendaja.Tulemuse avaldis punkti sai avaldis lahendaja.Tulemuse avaldis punkti sai avaldis lahendajat.Tulemuse avaldis punkti sai avaldis lahendaja.Tulemuse avaldis punkti sai avaldis lahendajat.Tulemuse avaldis punkti sai avaldis lahendajat.

Leian tulemuste aritmeetilise keskmise

avaldis
Selgitus
Kui on antud järgmine sagedustabel:
avaldis

Siis aritmeetiline keskmine arvutatakse välja järgmise valemi abil:

avaldis
Märkus: Sama tulemuse saab ka kõigi tulemuste summa ja tulemuste arvu jagamisel.
avaldis

Mitu lahendajat osales auhindade loosimisel?

avaldis
Selgitus
Lahendajate keskmisest tulemusest avaldis punkti olid paremaid tulemusi: avaldis lahendaja sai avaldis punkti, avaldis lahendajat sai avaldis punkti ja avaldis lahendajat sai avaldis punkti (sagedustabeli põhjal).

Vastus: Auhindade loosimisel osales avaldis lahendajat.

2. Mitmel erineval viisil võis jagada kaks auhinda?
avaldis
Selgitus

Kombinatsioonid

Kombinatsioonideks avaldis elemendist avaldis kaupa nimetatakse avaldis elemendilise hulga avaldis elemendilisi järjestamata osahulkade arvu.

avaldis

Näide

Loto peavõit võidetakse juhul, kui loosimises osaleb avaldis palli ja pihta peavad minema kõik loositud avaldis palli. Mitu piletit peaks ostma, et võidaksid kindlasti peavõidu?

Kuna kokku on avaldis palli, siis vaadeldakse avaldis elemendilist hulka, järelikult avaldis ja kuna loositakse avaldis palli, siis tuleb välja arvutada avaldis elemendiliste osahulkade arv, järelikult avaldis. Kuna numbrite tulemise järjekord pole oluline, arvutatakse antud osahulkade arv kombinatsioonide abil.

avaldis
avaldis


avaldis
Selgitus
Arvu avaldis faktoriaal on kujul:
avaldis
Arvude avaldis faktoriaali ja avaldis faktoriaali kirjalik taandamine:
avaldis
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

3. Kui suur oli tõenäosus, et auhinna sai lahendaja, kelle tulemus oli avaldis punkti?
avaldis
Selgitus
Võimatu sündmuse tõenäosus on avaldis (tulemus alla keskmise).

Vastus: Tõenäosus, et lahendaja, kes sai avaldis punkti võitis auhinna, on avaldis.

4. Kui suur oli tõenäosus, et auhinnad läksid kahele parimale lahendajale?

Leian tõenäosuse, et esimesena valitud lahendaja on parim lahendaja

avaldis
Selgitus

Sündmuse A klassikaline tõenäosus

Sündmuse avaldis tõenäouseks nimetetakse sündmusele avaldis soodsate võimaluste arvu avaldis ja kõigi võimaluste arvu avaldis jagatist:

avaldis

Näide

Urnis on avaldis musta ja avaldis valget kuuli. Leia musta kuuli tulemise tõenäosus.

Olgu sündmus avaldis musta kuuli tulek. Musti kuule on avaldis, järelikult avaldis ning kokku on kuule avaldis, järelikult avaldis. Musta kuuli tulemise tõenäosus on järelikult:

avaldis

Leian tõenäosuse, et teisena valitud lahendaja on parim lahendaja (esimene parim lahendaja on juba sel hetkel valitud)

avaldis
Selgitus

Sündmuse A klassikaline tõenäosus

Sündmuse avaldis tõenäouseks nimetetakse sündmusele avaldis soodsate võimaluste arvu avaldis ja kõigi võimaluste arvu avaldis jagatist:

avaldis

Näide

Urnis on avaldis musta ja avaldis valget kuuli. Leia musta kuuli tulemise tõenäosus.

Olgu sündmus avaldis musta kuuli tulek. Musti kuule on avaldis, järelikult avaldis ning kokku on kuule avaldis, järelikult avaldis. Musta kuuli tulemise tõenäosus on järelikult:

avaldis

Leian tõenäosuse, et auhinnad läksid kahele parimale lahendajale

avaldis
Selgitus

Tõenäosuste korrutamise reegel

Kui esimese sündmuse tõenäosus on avaldis ja teise sündmuse tõenäosus on avaldis, siis esimese ja teise sündmuse toimumise tõenäosus on avaldis.

Näide

Urnis on avaldis musta ja avaldis valget palli. Leia tõenäosus, et kahest võetud pallist on mõlemad valged.

Esimesena valge palli võtmise tõenäosus on:

avaldis

Teise valge palli tõenäosus arvestades, et eelmist tagasi ei panda, on:

avaldis

Siis esimesena ja teisena valge palli võtmise tõenäosus on:

avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Vastus: Tõenäosus, et auhinnad läksid kahele paremale lahendajale on avaldis.