Ülesanne 6 (10p)

On antud funktsioon avaldis.
1. Arvutage funktsiooni avaldis kasvamis- ja kahanemisvahemikud ning miinimumpunkti koordinaadid.
2. Leidke funktsiooni avaldis graafikule kohal avaldis tõmmatud puutuja tõus.

Vaata lahendust
1. Leian funktsiooni avaldis kasvamis- ja kahanemisvahemikud ning miinimumpunkti koordinaadid

Leian funktsiooni avaldis tuletise

avaldis
Selgitus

Leian funktsiooni kasvamisvahemiku

avaldis
Selgitus

Kasvamispiirkond

avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis kasvamispiirkond.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus:avaldis

Leian tuletisfunktsiooni nullkohad

avaldis
Selgitus
Ruutvõrratuse lahendamine:1) Asendan võrratusemärgi võrdusmärgiga, et leida nullkohad.

2) Seejärel tuleb need nullkohad kanda kasvavas järjekorras arvteljele ja joonistada nullkohtadest läbi parabool:
a) kui liikme avaldis ees olev arv on positiivne, siis avanevad parabooli haarad ülespoole;
b) kui liikme avaldis ees olev arv on negatiivne, siis avanevad parabooli haarad allapoole.
3) Loen jooniselt vastavalt võrratuse märgile vastuse:
a) kõik graafiku punktid, mis asuvad teljest üleval pool, annavad ruutfunktsioonile positiivse väärtuse (suurem nullist);
b) kõik punktid, mis asuvad telje peal, annavad ruutfunktsioonile väärtuse avaldis (võrdne nulliga);
c) kõik graafiku punktid, mis asuvad teljest allpool, annavad ruutfunktsioonile negatiivse väärtuse (väiksem nullist).

avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Võrrandi ab=0 lahendamine

avaldis

Näide

avaldis

Antud võrrandit võib lahendada kahe järgmise võrrandi eraldi lahendamise teel.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Pole midagi lahendada. Võrrandi esimene lahend on leitud.
avaldis
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

Joonis 56

Joonis 56

Selgitus
Kuna võrratuse ruutliikme ees olev arv on suurem nullist, siis avaneb parabool ülespoole.Kuna võrratuse märk on avaldis, siis viirutasin joonisel teljest ülespoole jääva osa.
avaldis
Selgitus
Lugesin vastusesse joonisel oleva viirutatud osa.

Leian funktsiooni kahanemisvahemiku

avaldis
Selgitus

Kahanemispiirkond

avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis kahanemispiirkond.

avaldis
avaldis

Leian nullkohad

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Joonis 3

Joonis 3

Vastus:avaldis

Leian tuletisfunktsiooni nullkohad

avaldis
Selgitus
Ruutvõrratuse lahendamine:1) Asendan võrratusemärgi võrdusmärgiga, et leida nullkohad.

2) Seejärel tuleb need nullkohad kanda kasvavas järjekorras arvteljele ja joonistada nullkohtadest läbi parabool:
a) kui liikme avaldis ees olev arv on positiivne, siis avanevad parabooli haarad ülespoole;
b) kui liikme avaldis ees olev arv on negatiivne, siis avanevad parabooli haarad allapoole.
3) Loen jooniselt vastavalt võrratuse märgile vastuse:
a) kõik graafiku punktid, mis asuvad teljest üleval pool, annavad ruutfunktsioonile positiivse väärtuse (suurem nullist);
b) kõik punktid, mis asuvad telje peal, annavad ruutfunktsioonile väärtuse avaldis (võrdne nulliga);
c) kõik graafiku punktid, mis asuvad teljest allpool, annavad ruutfunktsioonile negatiivse väärtuse (väiksem nullist).

avaldis
Selgitus
Eelnevalt ülesandes leitud.
Joonis 57

Joonis 57

Selgitus
Kuna võrratuse ruutliikme ees olev arv on suurem nullist, siis avaneb parabool ülespoole.Kuna võrratuse märk on avaldis, siis viirutasin joonisel teljest allapoole jääva osa.
avaldis
Selgitus
Lugesin vastusesse joonisel oleva viirutatud osa.

Leian funktsiooni ekstreemumid

avaldis
Selgitus

Ekstreemumid

avaldis

avaldis
avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis miinimumpunkti ja maksimumpunkti koordinaadid.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian ekstreemumpunktide avaldis koordinaadid.

avaldis
avaldis

Vastus:avaldis ja avaldis

avaldis
Selgitus
Eelnevalt ülesandes leitud.

Leian funktsiooni teise tuletise

avaldis
Selgitus

Määran ekstreemumite liigid

avaldis
avaldis
Selgitus

Ekstreemumid

avaldis

avaldis
avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis miinimumpunkti ja maksimumpunkti koordinaadid.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian ekstreemumpunktide avaldis koordinaadid.

avaldis
avaldis

Vastus:avaldis ja avaldis

Leian miinimumpunkti avaldis koordinaadi

avaldis
Selgitus
Asendasin miinimumpunkti avaldis koordinaadi avaldis väärtusega avaldis algsesse funktsiooni:
avaldis
avaldis
Selgitus
Punkti avaldis koordinaat on esimesel ja avaldis koordinaat on teisel kohal.

Vastus: Funktsiooni avaldis kasvamisvahemik on avaldis, kahanemisvahemik on avaldis ja miinimumpunkt on avaldis.

2. Leian funktsiooni avaldis graafikule kohal avaldis tõmmatud puutuja tõusu

Leian funktsiooni avaldis tuletise

avaldis
Selgitus
Eelnevalt ülesandes leitud.

Leian funktsiooni avaldis graafikule kohal avaldis tõmmatud puutuja tõusu

avaldis
Selgitus

Joone y=f(x) puutuja tõusu leidmine

Valem

avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis tõus kohal avaldis.

avaldis
avaldis

Vastus: Funktsiooni avaldis graafikule kohal avaldis tõmmatud puutuja tõus on avaldis.