Ülesanne 7 (10p)

1. Oksjonil müüdi maali alghinnaga avaldis eurot. Nii esimene, kui ka järgmine hinnapakkuja suurendas panust ühe ja sama summa võrra. On teada, et kümnes oli avaldis eurot ja maali ostis kolmekümnenda pakkumise teinud osaleja. Mis hinnaga osteti maal?
2. Samal oksjonil müüdi antiikese, mille ostuhind oli avaldis eurot. Eksperdi hinnangul oli eseme tegelik väärtus vaid avaldis eurot. Eksperdi hinnangul tõuseb eseme väärtus avaldis aastas. Mitu aastat peaks oksjoni toimumisest mööduma, et eseme tegelik väärtus ja ostuhind oleksid võrdsed?

Vaata lahendust
1. Mis hinnaga osteti maal?

Kuna panus suurenes kogu aeg ühe ja sama summa võrra, siis moodustavad hinnapakkumised aritmeetilise jada

Selgitus
Kui arvujada iga liikme ja temale eelneva liikme vahe on konstantne, siis on tegemist aritmeetilise jadaga.

Kuna maali alghind on avaldis eurot, siis järelikult selle jada esimene liige on:

avaldis
Selgitus
Maali alghind on antud jada esimene liige avaldis.

Tähistan hinnapakkumiste kasvu tundmatuga avaldis.

Selgitus
Iga liikme ja temale eelneva liikme vahet tähistatakse aritmeetilises jadas tundmatuga avaldis.

Kuna kümnes pakkumine oli avaldis eurot, siis saan võrrandi:

avaldis
Selgitus

Aritmeetilise jada üldliikme valem

avaldis

avaldis on jada üldliige järjekorra numbriga avaldis
avaldis on jada esimene liige
avaldis on aritmeetilise jada vahe
avaldis on jada liikme järjekorra number.

Näide

Leia aritmeetilise jada avaldis viiekümnes liige.

avaldis
avaldis
Asendasin jada üldliikme valemis üheteistkümnenda liikme (alghind on esimene liige ja kümnes pakkumine on üheteistkümnes liige), ehk avaldis arvuga avaldis, jada esimese liikme arvuga avaldis ja tundmatu avaldis asendasin arvuga avaldis (järelikult avaldis asendasin arvuga avaldis.Saadud võrrandist hakkan otsima tundmatut avaldis.
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.

Mis hinnaga osteti maal?

avaldis
Selgitus

Aritmeetilise jada üldliikme valem

avaldis

avaldis on jada üldliige järjekorra numbriga avaldis
avaldis on jada esimene liige
avaldis on aritmeetilise jada vahe
avaldis on jada liikme järjekorra number.

Näide

Leia aritmeetilise jada avaldis viiekümnes liige.

avaldis
avaldis
Alghind on jada esimene liige ja kolmekümnes pakkumine on jada kolmekümne esimene liige.

Vastus: Maal osteti avaldis euro eest.

2. Mitu aastat peaks oksjoni toimumisest mööduma, et eseme tegelik väärtus ja ostuhind oleksid võrdsed?

Antud ülesannet võib lahendada liitintressi valemi abil, kus maali tegelik väärtus avaldis eurot on algsumma, ostuhind avaldis eurot on lõppsumma, eseme väärtuse kasv avaldis aastas on intress ja aastate arvu eseme väärtuse ostuhinnaga võrdseks saamiseni võin tähistada tundmatuga avaldis. Loetletud andmete põhjal saan välja kirjutada võrrandi:

avaldis
Selgitus
Liitintressi valem:
avaldis

avaldis on lõppkogus
avaldis on algkogus
avaldis on aastane protsentuaalne juurdekasv
avaldis on perioodi pikkus

Näide: Kui suureks kasvab avaldis kroonine hoius avaldis aastaga, kui aastaintress on avaldis? Vastus anna täpsusega avaldis.
avaldis

Vastus: avaldis krooni kasvab avaldis intressiga avaldis aastaga summaks avaldis krooni ja avaldis senti.

Suurus avaldis on võimalik kohe peast teisendada kümnendmurruks.Mõned näited:

Kui avaldis:

avaldis

Kui avaldis:

avaldis

Kui avaldis:

avaldis
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis ja vahetasin lisaks võrrandi pooled.
avaldis
Selgitus
Kui antud võrrandis tundmatu avaldis asemele kirjutada logaritm avaldis, siis tekib antud valemi põhjal tõene võrdus:
avaldis
avaldis
Selgitus
Valikuliselt läksin üle logaritmi alusele avaldis, mida kokkuleppeliselt logaritmi alusesse ei kirjutata.

Vastus: Oksjoni toimumisest peab mööduma avaldis aastat, et eseme ostuhind ja tegelik väärtus oleksid võrdsed.

Selgitus
avaldis aastal on eseme hind veel alla ostuhinna ja avaldis aastal on juba üle ostuhinna.