On antud funktsiooni avaldis graafik (vt. joonist).
1. Leidke funktsiooni avaldis nullkohad ja negatiivsuspiirkond.
2. Arvutage funktsiooni avaldis maksimumpunkti koordinaadid.
3. Funktsiooni avaldis graafiku puutuja kohal avaldis on sirge avaldis. Koostage võrrand sirgele, mis on antud puutujaga paralleelne ning ka antud funktsiooni graafiku puutuja.

Kuupfunktsioon 8

Kuupfunktsioon 8

Vaata lahendust
1. Leian funktsiooni avaldis nullkohad ja negatiivsuspiirkonna
avaldis
Selgitus

Nullkohad

avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis nullkohad.

avaldis
avaldis
avaldis

Vastus:avaldis

avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib korrutada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi korrutades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul korrutasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Võrrandi ab=0 lahendamine

avaldis

Näide

avaldis

Antud võrrandit võib lahendada kahe järgmise võrrandi eraldi lahendamise teel.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Arvu ruut on avaldis vaid siis, kui arv ise on avaldis.
avaldis
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus
Loetlesin lahendid hulgamärkide vahel.
avaldis
Selgitus

Negatiivsuspiirkond

avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis negatiivsuspiirkond.

avaldis
avaldis
avaldis

Vastus:avaldis

Joonis 25

Joonis 25

Selgitus
Kui nullkohad on leitud, siis antud joonis tehakse järgmiste põhimõtete järgi:

1) Kantakse nullkohad kasvavas järjekorras arvteljele.
2) Valitakse suvaline piirkond ja kontrollitakse suvalise arvuga, sellest piirkonnast, kas selles piirkonnas on funktsiooni väärtus positiivne või negatiivne. Vastavalt sellele tõmmatakse joon kas alla või ülespoole telge.
3) Seejärel veetakse joon nullkohani ja sõltuvalt sellest kas antud nullkoht on paaris- või paaritu arvulise kordsusega, põrgatakse nullkohast tagasi või läbitakse telg, kuni kõik nullkohad on läbitud.

Antud ülesandes tehakse joonis järgmiste põhimõtete järgi:

1) Kannan nullkohad avaldis ja avaldis kasvavas järjekorras arvkiirele.
2) Seejärel vaatlen kõige parempoolset piirkonda, kontrollides arvuga avaldis, kas seal piirkonnas on funktsioon positiivne või negatiivne.

avaldis

Järelikult hakkan joont vedama ülevalt poolt telge.
3) Kuna lahend avaldis on kahekordne, ehk paarisarvuline ja avaldis on ühekordne, ehk paarituarvuline, siis avaldis juures põrkab joon telje juures tagasi ja avaldis juures ta läbib telge.

avaldis
Selgitus
Lugesin vastuse järgmise põhimõtte alusel:

1) Teljest ülevalpool asuvad punktid on positiivsed (suurem nullist).
2) Telje peal asuvad punktid on võrdsed nulliga.
3) Allpool asuvad punktid on negatiivsed (väiksem nullist).

Kuna hetkel otsisin negatiivsuspiirkonda, siis lugesin vastusesse joone need punktid, mis asuvad allpool telge.

Vastus: Funktsiooni avaldis nullkohad on avaldis ja positiivsuspiirkond on avaldis.

2. Arvutan funktsiooni avaldis maksimumpunkti koordinaadid

Leian funktsiooni avaldis tuletise

avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Ekstreemumid

avaldis

avaldis
avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis miinimumpunkti ja maksimumpunkti koordinaadid.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian ekstreemumpunktide avaldis koordinaadid.

avaldis
avaldis

Vastus:avaldis ja avaldis

avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Võrrandi ab=0 lahendamine

avaldis

Näide

avaldis

Antud võrrandit võib lahendada kahe järgmise võrrandi eraldi lahendamise teel.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Pole midagi lahendada. Võrrandi esimene lahend on leitud.
avaldis
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus

Leian funktsiooni avaldis teise tuletise

avaldis
Selgitus
Teise tuletise leidmiseks tuleb esimesest tuletisest omakorda tuletis võtta.

Määran ekstreemumite liigid

avaldis
avaldis
Selgitus

Ekstreemumid

avaldis

avaldis
avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis miinimumpunkti ja maksimumpunkti koordinaadid.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian ekstreemumpunktide avaldis koordinaadid.

avaldis
avaldis

Vastus:avaldis ja avaldis

Leian maksimumpunkti avaldis koordinaadi

avaldis
Selgitus
Kui avaldis koordinaat on teada, siis avaldis koordinaadi leidmiseks tuleb avaldis koordinaat asendada algsesse funktsiooni.
avaldis
Selgitus
Negatiivse arvu kuup on negatiivne.Negatiivse arvu ruut on positiivne.
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

avaldis
Selgitus

Vastus: Funktsiooni maksimumpunkt on avaldis.

Selgitus
Punkti avaldis koordinaat on esimesel kohal ja avaldis koordinaat on teisel kohal.
3. Leian sirge võrrandi, mis on funktsiooni avaldis puutujaga avaldis paralleelne ning ka antud funktsiooni avaldis graafiku puutuja

Leian puutuja avaldis tõusu

avaldis
Selgitus

Sirge tõusu leidmine, kui on teada sirge võrrand

Kui sirge võrrand on kujul avaldis, siis sirge tõus on lineaarliikme avaldis kordaja:

avaldis

Näide

Leia sirge avaldis tõus.

avaldis
avaldis
avaldis

Kuna funktsiooni putuja tõus on võrdne funktsiooni tuletiega kohal avaldis, saan võrrandi:

avaldis
Selgitus

Joone y=f(x) puutuja tõusu leidmine

Valem

avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis tõus kohal avaldis.

avaldis
avaldis
Asendasin joone puutuja tõusu leimise valemis puutuja tõusu arvuga avaldis ja vahetasin võrduse pooled.Saadud võrrandist otsin puutepunkti avaldis koordinaati avaldis.
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Kuna lahend avaldis ei sobi, siis ainus võimalik puutepunkti avaldis koordinaat on:

avaldis
Selgitus
Puutepunkti avaldis koordinaat avaldis on juba ülesande tekstis antud puutuja võrrandi avaldis koordinaat, mitte temaga paralleelse puutuja avaldis koordinaat.

Leian puutuja avaldis koordinaadi

avaldis
Selgitus
Kui puutepunkti avaldis koordinaat avaldis on teada, siis puutepunkti avaldis koordinaadi avaldis leidmiseks tuleb avaldis väärtus asendada algsesse funktsiooni.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

avaldis
Selgitus

Leian puutuja võrrandi

avaldis
Selgitus

Sirge võrrand ühe punkti ja sirge tõusu abil

Kui sirge läbib punkti avaldis ja tema tõus on avaldis, siis selle sirge võrrand on kujul:

avaldis

Näide

Leia sirge võrrand, kui ta läbib punkti avaldis ja tema tõus on avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
Arvu teisendamisel murruks tuleb arvule murrujoon ja arv avaldis alla kirjutada.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis

Vastus: Sirge võrrand, mis on funktsiooni avaldis puutujaga avaldis paralleelne ning ka antud funktsiooni avaldis graafiku puutuja on avaldis.