Ülesanne 9 (10p)

Sirge avaldis lõikab x-telge punktis avaldis. Sirge avaldis läbib punkti avaldis, on sirgega avaldis risti ja lõikab y-telge punktis avaldis. Sirge avaldis läbib punkti avaldis, on y-teljega risti ning lõikab sirget avaldis punktis avaldis.
1. Arvutage punktide avaldis, avaldis ja avaldis koordinaadid ning koostage sirgete avaldis ja avaldis võrrandid.
2. Koostage kolmnurga avaldis ümberringjoone võrrand.

Vaata lahendust
1. Arvutan punktide avaldis, avaldis ja avaldis koordinaadid ning koostan sirgete avaldis ja avaldis võrrandid

Leian punkti avaldis koordinaadi

avaldis
Selgitus
Kuna punkt avaldis asub x-teljel, siis punkti avaldis koordinaat on avaldis.

Leian punkti avaldis koordinaadi

avaldis
Selgitus
Asendasin leitud punkti avaldis koordinaadi avaldis sirge avaldis võrrandisse avaldis ja vahetasin võrduse pooled.
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib korrutada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi korrutades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul korrutasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

Järelikult on punkt avaldis kujul:

avaldis
Selgitus
Punkti avaldis koordinaat on esimesel kohal ja avaldis koordinaat teisel kohal.

Leian sirge avaldis tõusu

avaldis
Selgitus

Sirge tõusu leidmine, kui on teada sirge võrrand

Kui sirge võrrand on kujul avaldis, siis sirge tõus on lineaarliikme avaldis kordaja:

avaldis

Näide

Leia sirge avaldis tõus.

avaldis
avaldis
avaldis

Leian sirge avaldis tõusu

avaldis
Selgitus

Ristuvate sirgete omadus

Ristuvate sirgete vahel kehtib seos:

avaldis

Näide

Leia sirgega avaldis risti oleva sirge tõus.

Leian antud sirge tõusu

avaldis
avaldis
avaldis

Järelikult temaga risti oleva sirge tõus on:

avaldis
avaldis
Selgitus
Arvu teisendamisel murruks tuleb arvule murrujoon ja arv avaldis alla kirjutada.Murrujoone võib asendada jagamismärgiga.
avaldis
Selgitus

Leian sirge avaldis võrrandi

avaldis
Selgitus

Sirge võrrand ühe punkti ja sirge tõusu abil

Kui sirge läbib punkti avaldis ja tema tõus on avaldis, siis selle sirge võrrand on kujul:

avaldis

Näide

Leia sirge võrrand, kui ta läbib punkti avaldis ja tema tõus on avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Leian punkti avaldis koordinaadi

avaldis
Selgitus
Kuna punkt avaldis asub y-teljel, siis punkti avaldis koordinaat on avaldis.

Leian punkti avaldis koordinaadi

avaldis
Selgitus
Asendasin leitud punkti avaldis koordinaadi avaldis sirge avaldis võrrandisse avaldis.

Järelikult on punkt avaldis kujul:

avaldis
Selgitus
Punkti avaldis koordinaat on esimesel kohal ja avaldis koordinaat teisel kohal.

Leian sirge avaldis võrrandi

avaldis
Selgitus
Kuna sirge avaldis on risti y-teljega, siis on sirge võrrand kujul avaldis, kus avaldis on mingi arv.Kuna sirge avaldis läbib punkti avaldis, siis see arv avaldis on punkti avaldis koordinaat avaldis.

Leian punkti avaldis

avaldis
Selgitus
Kahe sirge lõikepunkti leidmiseks tuleb moodustada nende sirgete võrranditest võrrandisüsteem ja see ära lahendada.
avaldis
Selgitus
Kui võrrandisüsteemi vasakud pooled on võrdsed, siis on võrdsed ka paremad pooled.
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib korrutada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi korrutades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul mkorrutasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

Järelikult on punkt avaldis kujul:

avaldis
Selgitus
Punkti avaldis koordinaat on esimesel kohal ja avaldis koordinaat teisel kohal.Punkti avaldis koordinaat avaldis on võrrandisüsteemi teise võrrandiga juba antud.

Vastus: Punktide avaldis, avaldis ja avaldis koordinaadid on avaldis, avaldis ja avaldis ning sirge avaldis võrrand on avaldis ja sirge avaldis võrrand on avaldis.

2. Koostan kolmnurga avaldis ümberringjoone võrrandi

Selleks, et leida kolmnurga avaldis keskpunkt, tuleb leida kahe külje keskristsirge võrrandid ja seejärel leida nende lõikepunkt.

Selgitus
Kolmnurga ümberringjoone keskpunkt asub külgede keskristsirgete lõikepunktis.Kolmnurga keskristsirged lõikuvad küll kõik ühes punktis, kuid selle punkti leidmiseks piisab, kui leida ära kaks keskristsirget ja leida nende lõikepunkt.

Leian sirge avaldis keskpunkti avaldis

avaldis
avaldis
Selgitus

Lõigu poolitamine

Kui avaldis ja avaldis, siis lõigu avaldis keskpunkt avaldis arvutatakse järgmiselt:

avaldis

Näide

Leia lõigu avaldis keskpunkt, kui avaldis ja avaldis.

avaldis
avaldis

Leian sirge avaldis tõusu

avaldis
Selgitus

Sirge tõusu leidmine kahe punkti abil

Punkte avaldis ja avaldis läbiva sirge võrrand on:

avaldis

Näide

Leia punkte avaldis ja avaldis läbiv sirge võrrand.

avaldis

Leian sirgega avaldis ristuva sirge tõusu

avaldis
Selgitus

Ristuvate sirgete omadus

Ristuvate sirgete vahel kehtib seos:

avaldis

Näide

Leia sirgega avaldis risti oleva sirge tõus.

Leian antud sirge tõusu

avaldis
avaldis
avaldis

Järelikult temaga risti oleva sirge tõus on:

avaldis

Leian sirge avaldis keskristsirge võrrandi

avaldis
Selgitus

Sirge võrrand ühe punkti ja sirge tõusu abil

Kui sirge läbib punkti avaldis ja tema tõus on avaldis, siis selle sirge võrrand on kujul:

avaldis

Näide

Leia sirge võrrand, kui ta läbib punkti avaldis ja tema tõus on avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib korrutada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi korrutades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul korrutasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
avaldis

Leian sirge avaldis keskristsirge võrrandi

avaldis
Selgitus
Kuna sirge avaldis on risti y-teljega, siis on temaga ristuv sirge on risti x-teljega.Kuna avaldis keskristsirge on risti x-teljega, siis on selle sirge võrrand kujul avaldis, kus avaldis on mingi arv.Kuna lõigu avaldis pikkus on avaldis ühikut, siis lõigu avaldis keskpunkt on punktist avaldis ühiku kaugusel. Järelikult see arv avaldis on avaldis.

Leian sirgete avaldis ja avaldis keskristsirgete lõikepunkti, ehk kolmnurga avaldis ümberringjoone keskpunkti

avaldis
Selgitus
Kahe sirge lõikepunkti leidmiseks tuleb moodustada nende sirgete võrranditest võrrandisüsteem ja see ära lahendada.
avaldis
Selgitus
Asendasin võrrandisüsteemi teisest võrrandist avaldis vääruse avaldis võrrandisüsteemi teise võrrandisse.
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.

Järelikult on kolmnurga avaldis keskpunkt avaldis kujul:

avaldis
Selgitus
Punkti avaldis koordinaat on esimesel kohal ja avaldis koordinaat teisel kohal.Punkti avaldis koordinaat avaldis on võrrandisüsteemi teise võrrandiga juba antud.

Leian kolmnurga avaldis ümberringjoone raadiuse vektori avaldis koordinaadid

avaldis
Selgitus

Vektori koordinaadid

Punktid avaldis ja avaldis määravad ära vektori:

avaldis

Näide

Leia vektori avaldis koordinaadid, kui avaldis ja avaldis.

avaldis

Leian kolmnurga avaldis ümberringjoone raadiuse vektori avaldis pikkuse

avaldis
Selgitus

Vektori pikkus

Vektori avaldis pikkus on arvutatav valemiga:

avaldis

Näide

Leia vektori avaldis pikkus.

avaldis

Leian kolmnurga avaldis ümberringjoone võrrandi

avaldis
Selgitus

Ringjoone võrrand

Kui ringjoone keskpunkt on avaldis ja ringjoone raadius on avaldis, siis on ringjoone võrrand kujul:

avaldis

Näide

Leia ringjoone võrrand, kui tema keskpunkt on avaldis ja raadius on avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
avaldis

Vastus: Kolmnurga avaldis ümberringjoone võrrand on avaldis.