Ülesanne 12 (10p)

Püramiidi põhi on kolmnurk, mille kahe külje pikkused on avaldis ja avaldis ning nurk nende külgede vahel on avaldis. Püramiidi kõik külgservad on pikkusega avaldis. Tehke ülesande tekstiga sobiv joonis ja arvutage selle püramiidi ruumala.

Vaata lahendust
Teen ülesande tekstiga sobiva joonise
Kolmnurkne püramiid

Kolmnurkne püramiid

Selgitus
Püramiidi kolmnurkse põhja kahe külje pikkused avaldis ja avaldis on ülesandes antud.Nende külgede vaheline nurk avaldis on ülesandes antud.Püramiidi kõik külgservad pikkusega avaldis on ülesandes antud.
Arvutan selle püramiidi ruumala

Leian püramiidi põhja pindala

avaldis
Selgitus

Kolmnurga pindala kahe külje ja nendevahelise nurga järgi

Kolmnurk nr. 3

Kolmnurk nr. 3

avaldis

Näide

Leia kolmnurga pindala, kui tema kaks külge on avaldis ja avaldis ning nendevaheline nurk on avaldis.

avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus
Arvuga avaldis korrutamine ei muuda arvu.
avaldis
Selgitus

Teen joonise püramiidi põhjast, et leida sealt puuduv külg avaldis

Kolmnurk nr. 37

Kolmnurk nr. 37

Selgitus
Tähistasin põhjal oleva puuduva külje tundmatuga avaldis.
avaldis
Selgitus

Koosinusteoreem

Kolmnurk nr. 3

Kolmnurk nr. 3

avaldis

Näide

Leia kolmnurga kolmas külg, kui kaks külge on pikkustega avaldis ja avaldis ja nende vaheline nurk on avaldis.

Kolmnurk nr. 8

Kolmnurk nr. 8

avaldis
avaldis
Täisnurkne kolmnurk nr. 38

Täisnurkne kolmnurk nr. 38

Selgitus
Kandsin püramiidi põhja joonisele just leitud avaldis väärtuse avaldis.

Näitan, et püramiidi põhi on täisnurkne kolmnurk

Selgitus
Kui õnnestub näidata, et püramiidi põhjaks olev kolmnurk on täisnurkne, siis võin lugeda hiljem kolmnurga ümberringjoone keskpunkti hüpotenuusi keskpunkti.
avaldis
Selgitus

Pythagorase teoreem

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

avaldis

Näited

1) Täisnurkse kolmnurga kaatetid on avaldis ja avaldis. Leia täisnurkse kolmnurga hüpotenuus.

avaldis
avaldis

2) Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on avaldis ja üks kaatetitest on avaldis. Leia täisnurkse kolmnurga teine kaatet.

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis

Järelikult on püramiidi põhjaks täisnurkne kolmnurk

Selgitus
Kuna kolmnurga külgede asendamisel Pythagorase teoreemi tekkis tõene võrdus, on tegemist täisnurkse kolmnurgaga.

Märgin saadud täisnurksele kolmnurgale ümberringjoone keskpunkti ning tähistan kauguse püramiidi kõrguse ja kolmnurga tipu vahel tundmatuga avaldis

Täisnurkne kolmnurk nr. 78

Täisnurkne kolmnurk nr. 78

Selgitus
Kuna püramiidi külgservad on võrdsed, siis langeb püramiidi kõrgus põhja ümberringjoone keskpunkti (kõrgus langeb põhjal punkti, millest iga kaugus põhja tippu on võrdne).Kuna eelnevalt on ülesandes näidatud, et tegemist on täisnurkse kolmnurgaga, siis on põhja ümberringjoone keskpunkt hüpotenuusi keskpunktis.
avaldis
Selgitus
Kuna antud täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on avaldis ja lõik avaldis on temast pool, siis lõigu avaldis leidmiseks tuleb hüpotenuusi pikkus avaldis jagada arvuga avaldis.

Teen joonise täisnurksest kolmnurgast. et leida sealt püramiidi kõrgus avaldis

Täisnurkne kolmnurk nr. 79

Täisnurkne kolmnurk nr. 79

Selgitus
Antud täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on püramiidi külgserv avaldis.Antud täisnurkse kolmnurga üks kaatet on just leitud lõigu avaldis väärtus avaldis.Tähistasin täisnurkse kolmnurga teise kaateti püramiidi kõrgusega avaldis.
avaldis
Selgitus

Pythagorase teoreem

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

avaldis

Näited

1) Täisnurkse kolmnurga kaatetid on avaldis ja avaldis. Leia täisnurkse kolmnurga hüpotenuus.

avaldis
avaldis

2) Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on avaldis ja üks kaatetitest on avaldis. Leia täisnurkse kolmnurga teine kaatet.

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis

Leian püramiidi ruumala

avaldis
Selgitus

Püramiidi ruumala

Püramiid nr. 1

Püramiid nr. 1

Kui püramiidi põhja pindala on avaldis ja püramiidi kõrgus on avaldis, siis püramiidi ruumala avaldis on arvutatav valemiga:

avaldis

Näide

Püramiidi põhja pindala on avaldis ja püramiidi kõrgus on avaldis. Leia püramiidi ruumala.

avaldis
avaldis
Selgitus
Arvu teisendamisel murruks tuleb arvule murrujoon ja arv avaldis alla kirjutada.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Vastus: Püramiidi ruumala on avaldis.