Ülesanne 4 (5p)

Osteti pakk Kreeka pähkleid. Tõenäosus, et pakist võetakse tuumata (seest tühi) pähkel, on maaletooja väitel avaldis. Kui suur on tõenäosus, et pakist juhuslikult võetud:
1) viiest pähklist on täpselt avaldis tühjad;
2) kümnest pähklist on vähemalt avaldis pähkel tühi?

Vaata lahendust
1. Leian tõenäosuse, et viiest pähklist on täpselt avaldis tühjad

Leian võimaluste arvu viiest pähklist avaldis tühja pähkli valimiseks

avaldis
Selgitus

Kombinatsioonid

Kombinatsioonideks avaldis elemendist avaldis kaupa nimetatakse avaldis elemendilise hulga avaldis elemendilisi järjestamata osahulkade arvu.

avaldis

Näide

Loto peavõit võidetakse juhul, kui loosimises osaleb avaldis palli ja pihta peavad minema kõik loositud avaldis palli. Mitu piletit peaks ostma, et võidaksid kindlasti peavõidu?

Kuna kokku on avaldis palli, siis vaadeldakse avaldis elemendilist hulka, järelikult avaldis ja kuna loositakse avaldis palli, siis tuleb välja arvutada avaldis elemendiliste osahulkade arv, järelikult avaldis. Kuna numbrite tulemise järjekord pole oluline, arvutatakse antud osahulkade arv kombinatsioonide abil.

avaldis
avaldis


Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Leian tõenäosuse ühe mittetühja pähkli valimiseks

avaldis
Selgitus

Täistõenäosuse valem

Kõigi mingis süsteemis esinevate sündmuste summa on võrdne arvuga avaldis:

avaldis

Näide

Töökojas on avaldis tööpinki. Tõenäosus, et esimesena vajab parandamist esimene pink on avaldis. Tõenäosus, et esimesena vajab parandamist teine pink on avaldis. Kui suur on tõenäosus, et esimesena vajab parandamist kolmas pink?

Kuna üks kolmest pingist kindlasti esimesena parandamist vajavad, siis on nende kolme sündmuse tõenäosus kokku avaldis. Kui arvust avaldis lahutada kahe esimese esimesena purunemine, siis kolmanda pingi esimesena purunemise tõenäosuse saan arvutada järgmiselt:

avaldis

Leian tõenäosuse, et viiest pähklist on täpselt avaldis tühjad

avaldis
Selgitus

Bernoulli valem

Tõenäosus, et avaldis seerialises sõltumatutest katsetest koosnevas katseteseerias avaldis katset on soodsad, kui soodsa katse tõenäosus on avaldis ning mittesoodsa katse tõenäosus on avaldis arvutatakse valemiga:

avaldis

Näide

Kui suur on tõenäosus, et täringu viskamisel avaldis viskest tuleb avaldis silma täpselt avaldis korda.

avaldis silma tuleku tõenäosus on:

avaldis

Mitte avaldis silma tuleku tõenäosus on:

avaldis

Kuna avaldis silma peab tulema avaldis viskest täpselt avaldis korral, siis antud sündmuse tõenäosus on:

avaldis
avaldis

Vastus: Tõenäosus, et viiest pähklist on täpselt avaldis tühjad on avaldis.

2. Leian tõenäosuse, et kümnest pähklist on vähemalt avaldis pähkel tühi

Leian võimaluste arvu kümnest pähklist avaldis tühja pähkli valimiseks

avaldis
Selgitus

Kombinatsioonid

Kombinatsioonideks avaldis elemendist avaldis kaupa nimetatakse avaldis elemendilise hulga avaldis elemendilisi järjestamata osahulkade arvu.

avaldis

Näide

Loto peavõit võidetakse juhul, kui loosimises osaleb avaldis palli ja pihta peavad minema kõik loositud avaldis palli. Mitu piletit peaks ostma, et võidaksid kindlasti peavõidu?

Kuna kokku on avaldis palli, siis vaadeldakse avaldis elemendilist hulka, järelikult avaldis ja kuna loositakse avaldis palli, siis tuleb välja arvutada avaldis elemendiliste osahulkade arv, järelikult avaldis. Kuna numbrite tulemise järjekord pole oluline, arvutatakse antud osahulkade arv kombinatsioonide abil.

avaldis
avaldis


Kokkuleppeliselt:
avaldis

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Leian tõenäosuse, et kümnest pähklist on kõik mittetühjad

avaldis
Selgitus

Bernoulli valem

Tõenäosus, et avaldis seerialises sõltumatutest katsetest koosnevas katseteseerias avaldis katset on soodsad, kui soodsa katse tõenäosus on avaldis ning mittesoodsa katse tõenäosus on avaldis arvutatakse valemiga:

avaldis

Näide

Kui suur on tõenäosus, et täringu viskamisel avaldis viskest tuleb avaldis silma täpselt avaldis korda.

avaldis silma tuleku tõenäosus on:

avaldis

Mitte avaldis silma tuleku tõenäosus on:

avaldis

Kuna avaldis silma peab tulema avaldis viskest täpselt avaldis korral, siis antud sündmuse tõenäosus on:

avaldis
avaldis

Leian tõenäosuse, et kümnest pähklist on vähemalt avaldis pähkel tühi

avaldis
Selgitus

Täistõenäosuse valem

Kõigi mingis süsteemis esinevate sündmuste summa on võrdne arvuga avaldis:

avaldis

Näide

Töökojas on avaldis tööpinki. Tõenäosus, et esimesena vajab parandamist esimene pink on avaldis. Tõenäosus, et esimesena vajab parandamist teine pink on avaldis. Kui suur on tõenäosus, et esimesena vajab parandamist kolmas pink?

Kuna üks kolmest pingist kindlasti esimesena parandamist vajavad, siis on nende kolme sündmuse tõenäosus kokku avaldis. Kui arvust avaldis lahutada kahe esimese esimesena purunemine, siis kolmanda pingi esimesena purunemise tõenäosuse saan arvutada järgmiselt:

avaldis

Vastus: Tõenäosus, et kümnest pähklist on vähemalt avaldis pähkel tühi on avaldis.