Ülesanne 5 (10p)

Rajatava ristkülikukujlise liuvälja laius peab olema pikkusest avaldis võrra lühem. Liuvälja ümbermõõt peab olema väiksem, kui avaldis ja selle pindala peab olema vähemalt avaldis. Arvutage selle liuvälja pikkuse võimalikud täisarvulised väärtused.

Vaata lahendust
Koostan teksti põhjal võrratusesüsteemi
Ristkülikukujuline liuväli

Ristkülikukujuline liuväli

Selgitus
Ristküliku kujulise liuvälja pikkuse tähistasin tundmatuga avaldis.Ristküliku kujulise liuvälja laius on järelikult avaldis (laius on pikkusest avaldis võrra lühem).

Kuna liuvälja ümbermõõt peab olema väiksem, kui avaldis, saan välja kirjutada võrratuse:

avaldis
Selgitus

Ristkülik

Ristkülik

Ristkülik

Kui ristküliku küljed on avaldis ja avaldis, siis tema ümbermõõt avaldis ja pindala avaldis on arvutatav järgmiste valemitega:

avaldis
avaldis

Näide

Ristküliku küljed on avaldis ja avaldis. Leia selle ristküliku ümbermõõt ja pindala.

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrratuse märgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Näited

1) Võrratused avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrratused avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Võrratuse pooli võib jagada läbi suvalise positiivse arvuga

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Näited

1) Võrratus avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrratusega avaldis.
2) Võrratus avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrtusega avaldis.

Antud juhul jagasin võrratuse pooli läbi positiivse arvuga avaldis.

Kuna liuvälja pindala peab olema vähemalt avaldis, saan välja kirjutada võrratuse:

avaldis
Selgitus

Ristkülik

Ristkülik

Ristkülik

Kui ristküliku küljed on avaldis ja avaldis, siis tema ümbermõõt avaldis ja pindala avaldis on arvutatav järgmiste valemitega:

avaldis
avaldis

Näide

Ristküliku küljed on avaldis ja avaldis. Leia selle ristküliku ümbermõõt ja pindala.

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrratuse märgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Näited

1) Võrratused avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrratused avaldis ja avaldis on samaväärsed.

Leian ruutvõrratuse nullkohad

avaldis
Selgitus
Ruutvõrratuse lahendamine:1) Asendan võrratusemärgi võrdusmärgiga, et leida nullkohad.

2) Seejärel tuleb need nullkohad kanda kasvavas järjekorras arvteljele ja joonistada nullkohtadest läbi parabool:
a) kui liikme avaldis ees olev arv on positiivne, siis avanevad parabooli haarad ülespoole;
b) kui liikme avaldis ees olev arv on negatiivne, siis avanevad parabooli haarad allapoole.
3) Loen jooniselt vastavalt võrratuse märgile vastuse:
a) kõik graafiku punktid, mis asuvad teljest üleval pool, annavad ruutfunktsioonile positiivse väärtuse (suurem nullist);
b) kõik punktid, mis asuvad telje peal, annavad ruutfunktsioonile väärtuse avaldis (võrdne nulliga);
c) kõik graafiku punktid, mis asuvad teljest allpool, annavad ruutfunktsioonile negatiivse väärtuse (väiksem nullist).

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Joonis 27

Joonis 27

Ülesande algtingimusi arvestades on antud võrratuse lahendihulk järgmine:

avaldis
Selgitus
Ristküliku kujulise liuvälja pikkus peab olema positiivne.
avaldis
Selgitus
Moodustasin kahest leitud võrratusest võrratusesüsteemi.
Leian saadud võrratusesüsteemi täisarvulised lahendid
Joonis 28

Joonis 28

Selgitus
Otspunkt avaldis on kaasa arvatud ja otspunkt avaldis ei ole kaasa arvatud.

Vastus: Liuvälja pikkuse võimalikud täisarvulised väärtused on avaldis.

Selgitus
Loetlesin joonise põhjal hulgamärkide vahel kõik tundmatu avaldis (tähistatud liuvälja pikkusega) täisarvulised väärtused.