Ülesanne 8 (10p)

On antud funktsioon avaldis.
1. Arvutage selle funktsiooni ekstreemumkohad ja leidke kasvamisvahemikud.
2. Punkt avaldis, mille abtsiss on avaldis, asub funktsiooni avaldis graafikul. Läbi punkti avaldis on tõmmatud funktsiooni avaldis graafikule puutuja, mis lõikab funktsiooni avaldis graafikut punktis avaldis. Koostage selle puutuja võrrand ja arvutage punkti avaldis koordinaadid.

Vaata lahendust
1. Arvutan selle funktsiooni ekstreemumkohad ja leian kasvamisvahemikud

Leian funktsiooni avaldis tuletise

avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Ekstreemumid

avaldis

avaldis
avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis miinimumpunkti ja maksimumpunkti koordinaadid.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian ekstreemumpunktide avaldis koordinaadid.

avaldis
avaldis

Vastus:avaldis ja avaldis

avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Võrrandi ab=0 lahendamine

avaldis

Näide

avaldis

Antud võrrandit võib lahendada kahe järgmise võrrandi eraldi lahendamise teel.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Pole midagi lahendada. Võrrandi esimene lahend on leitud.
avaldis
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.

Leian funktsiooni avaldis teise tuletise

avaldis
Selgitus

Määran ekstreemumite liigid

avaldis
avaldis
Selgitus

Ekstreemumid

avaldis

avaldis
avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis miinimumpunkti ja maksimumpunkti koordinaadid.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Leian ekstreemumpunktide avaldis koordinaadid.

avaldis
avaldis

Vastus:avaldis ja avaldis

Järelikult on funktsiooni ekstreemumkohad:

avaldis
Selgitus
Ekstreemumkohad on funktsiooni ekstreemumpunktide (maksimum või miinimum) avaldis koordinaadid.

Leian funktsiooni avaldis kasvamisvahemiku

avaldis
Selgitus

Kasvamispiirkond

avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis kasvamispiirkond.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Vastus:avaldis

avaldis
Selgitus
Ruutvõrratuse lahendamine:1) Asendan võrratusemärgi võrdusmärgiga, et leida nullkohad.

2) Seejärel tuleb need nullkohad kanda kasvavas järjekorras arvteljele ja joonistada nullkohtadest läbi parabool:
a) kui liikme avaldis ees olev arv on positiivne, siis avanevad parabooli haarad ülespoole;
b) kui liikme avaldis ees olev arv on negatiivne, siis avanevad parabooli haarad allapoole.
3) Loen jooniselt vastavalt võrratuse märgile vastuse:
a) kõik graafiku punktid, mis asuvad teljest üleval pool, annavad ruutfunktsioonile positiivse väärtuse (suurem nullist);
b) kõik punktid, mis asuvad telje peal, annavad ruutfunktsioonile väärtuse avaldis (võrdne nulliga);
c) kõik graafiku punktid, mis asuvad teljest allpool, annavad ruutfunktsioonile negatiivse väärtuse (väiksem nullist).

avaldis
Selgitus
Eelnevalt ülesandes leitud.
Joonis 29

Joonis 29

Järelikult funktsiooni kasvamisvahemik on:

avaldis
Selgitus
Kuna oli vaja lahendada võrratus funktsioon on suurem nullist, siis lugesin vastusesse kõik joone punktid, mis asuvad ülevalpool telge.

Vastus: Funktsiooni ekstreemumkohad on avaldis ja avaldis ning kasvamisvahemik on avaldis.

2. Leian puutuja võrrandi ja arvutan punkti avaldis koordinaadid

Leian puutuja võrrandi

avaldis
Selgitus
Kui avaldis koordinaat on teada, siis avaldis koordinaadi leidmiseks tuleb avaldis koordinaat asendada algsesse funktsiooni.
avaldis
Selgitus

Joone y=f(x) puutuja tõusu leidmine

Valem

avaldis

Näide

Leia funktsiooni avaldis tõus kohal avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Sirge võrrand ühe punkti ja sirge tõusu abil

Kui sirge läbib punkti avaldis ja tema tõus on avaldis, siis selle sirge võrrand on kujul:

avaldis

Näide

Leia sirge võrrand, kui ta läbib punkti avaldis ja tema tõus on avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Arvutan punkti avaldis koordinaadid

avaldis
Selgitus
Kahe joone lõikepunkti leidmiseks tuleb nende joone võrranditest moodustada võrrandisüsteem ja selle süsteemi lahendid ongi nende joonte lõikepunkti avaldis ja avaldis koordinaat.Tähisel avaldis ja tundmatul avaldis on sama tähendus.
avaldis
Selgitus
Kui võrrandisüsteemi vasakud pooled on võrdsed, peavad olema võrdsed ka paremad pooled.
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib korrutada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi korrutades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul korrutasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Võrrandi ab=0 lahendamine

avaldis

Näide

avaldis

Antud võrrandit võib lahendada kahe järgmise võrrandi eraldi lahendamise teel.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus

Kuna lahendid avaldis ja avaldis ei saa olla punkti avaldis koordinaadid, siis ainus sobiv punkti avaldis koordinaat on:

avaldis
Selgitus
Võrrandisüsteemi lahendi avaldis koordinaat väärtusega avaldis ühtib joone puutepunkti avaldis koordinaadiga avaldis.
avaldis
Selgitus
Kui avaldis koordinaat on teada, siis avaldis koordinaadi leidmiseks tuleb avaldis koordinaat asendada algsesse funktsiooni.
avaldis
Selgitus
Arvu ruut on positiivne.Arvu kuup on negatiivne.
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
avaldis

Järelikult on punkt avaldis järgmine:

avaldis
Selgitus
Punkti avaldis koordinaat on esimesel kohal ja avaldis koordinaat on teisel kohal.

Vastus: Joone puutuja võrrand on avaldis ning joone ja puutuja lõikepunkt avaldis on avaldis.