Ülesanne 9 (10p)

On antud punktid avaldis ja avaldis. Sirge avaldis on risti sirgega avaldis ja punkt avaldis asub y-teljel.
1. Arvutage nurk avaldis.
2. Koostage kolmnurga avaldis tippe läbiva parabooli võrrand.

Vaata lahendust
1. Arvutan nurga avaldis

Leian sirge avaldis tõusu

avaldis
Selgitus

Sirge tõusu leidmine kahe punkti abil

Punkte avaldis ja avaldis läbiva sirge võrrand on:

avaldis

Näide

Leia punkte avaldis ja avaldis läbiv sirge võrrand.

avaldis

Leian sirge avaldis tõusu

avaldis
Selgitus

Ristuvate sirgete omadus

Ristuvate sirgete vahel kehtib seos:

avaldis

Näide

Leia sirgega avaldis risti oleva sirge tõus.

Leian antud sirge tõusu

avaldis
avaldis
avaldis

Järelikult temaga risti oleva sirge tõus on:

avaldis

Leian sirge avaldis võrrandi

avaldis
Selgitus

Sirge võrrand ühe punkti ja sirge tõusu abil

Kui sirge läbib punkti avaldis ja tema tõus on avaldis, siis selle sirge võrrand on kujul:

avaldis

Näide

Leia sirge võrrand, kui ta läbib punkti avaldis ja tema tõus on avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
avaldis

Leian punkti avaldis

avaldis
Selgitus
Kui sirge lõikab y-telge, siis on selle sirge avaldis koordinaat avaldis.
avaldis
Selgitus
Kui avaldis koordinaat on teada, siis avaldis koordinaadi leidmiseks tuleb avaldis koordinaat asendada antud sirge võrrandisse:
avaldis

Järelikult on punkt avaldis järgmine:

avaldis
Selgitus
Punkti avaldis koordinaat on esimesel kohal ja avaldis koordinaat teisel kohal.

Tähistan nurga avaldis tundmatuga avaldis ja leian selle nurga lähiskülgede vektorid

avaldis
avaldis
Selgitus

Vektori koordinaadid

Punktid avaldis ja avaldis määravad ära vektori:

avaldis

Näide

Leia vektori avaldis koordinaadid, kui avaldis ja avaldis.

avaldis

Leian nende vektorite vahelise nurga avaldis

avaldis
Selgitus

Vektorite vaheline nurk

Vektorite avaldis ja avaldis vaheline nurk avaldis arvutatakse järgmise valemiga:

avaldis

Näide

Leia vektorite avaldis ja avaldis vaheline nurk. Vastus andke täpsusega avaldis.

avaldis
avaldis

Kui avaldis on välja arvutatud, siis avaldis leidmiseks tuleb kalkulaatoril vajutada järgmine klahvikombinatsioon:

avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Kui avaldis on teada, siis avaldis väärtuse annab meile kalkulaatoril järgmine klahvikombinatsioon:
avaldis

Vastus: Nurk avaldis on avaldis.

2. Koostan kolmnurga avaldis tippe läbiva parabooli võrrandi

Tähistan parabooli kordajad tundmatutega avaldis, avaldis ja avaldis ning saan paraboolile kuju:

avaldis
Selgitus
Parabooli üldkuju on avaldis, kus avaldis, avaldis ja avaldis on mingid arvud.

Kuna parabool läbib punkti avaldis, saan võrrandi:

avaldis
Selgitus
Asendasin parabooli üldkujusse avaldis tundmatu avaldis asemele punkti avaldis koordinaadi avaldis ja tundmatu avaldis asemele punkti avaldis koordinaadi avaldis ning vahetasin võrduse pooled.
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis

Kuna parabool läbib punkti avaldis, saan võrrandi:

avaldis
Selgitus
Asendasin parabooli üldkujusse avaldis tundmatu avaldis asemele punkti avaldis koordinaadi avaldis ja tundmatu avaldis asemele punkti avaldis koordinaadi avaldis ning vahetasin võrduse pooled.
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis

Kuna parabool läbib punkti avaldis, saan võrrandi:

avaldis
Selgitus
Asendasin parabooli üldkujusse avaldis tundmatu avaldis asemele punkti avaldis koordinaadi avaldis ja tundmatu avaldis asemele punkti avaldis koordinaadi avaldis ning vahetasin võrduse pooled.
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis

Saan süsteemi:

avaldis
Selgitus
Moodustasin kolmest leitud võrrandist võrrandisüsteemi.
avaldis
Selgitus
Asendasin kolmandast võrrandist tundmatu avaldis väärtuse avaldis esimesse ja teise võrrandisse.
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib korrutada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi korrutades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul korrutasin esimese võrrandi pooli läbi arvuga avaldis ja teise võrrandi pooli korrutasin läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus
Liitsin ülevalt alla tundmatud avaldis:
avaldis
Liitsin ülevalt alla tundmatud avaldis (avaldis korral koondus avaldis välja):
avaldis
Liitsin ülevalt alla arvud:
avaldis
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus
Asendasin leitud avaldis väärtuse ülesandes olevasse võrrandisse:
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.

Vastus: Kolmnurga avaldis tippe läbiva parabooli võrrand on avaldis.

Selgitus
Asendasin leitud avaldis väärtuse avaldis, avaldis väärtuse avaldis ja avaldis väärtuse avaldis parabooli üldkujusse:
avaldis
Kordaja avaldis jäetakse reeglina tundmatu ette kirjutamata.