Ülesanne 12 (10p)

Püramiidi avaldis põhjaks on romb avaldis ja tipust avaldis tõmmatud kõrgus langeb põhiserva avaldis keskpunkti. Püramiidi ruumala on avaldis, kõrgus on avaldis ja põhitahu diagonaalide pikkuste vahe on avaldis. Konstrueerige ülesande tekstile vastav joonis ja arvutage nurk püramiidi lühema külgserva ja põhitahu vahel.

Vaata lahendust
Konstrueerin ülesande tekstile vastava joonise
Püramiid ABCDE

Püramiid ABCDE

Selgitus
Püramiidi põhjaks oleva rombi diagonaalid tähistasin tundmatutega avaldis ja avaldis.Püramiidi kõrgus pikkusega avaldis on ülesandes antud.Täiendasin joonist aluse avaldis keskpunktiga avaldis ja põhja diagonaalide lõikepunktiga avaldis.
Arvutan nurga püramiidi lühema külgserva ja põhitahu vahel

Kuna püramiidi põhitahu diagonaalide pikkuste vahe on avaldis, saan välja kirjutada võrrandi:

avaldis
Selgitus
Kahe arvu avaldis ja avaldis vahe on avaldis.

Avaldan põhjaks oleva rombi pindala tundmatute avaldis ja avaldis kaudu

avaldis
Selgitus

Romb

Romb

Romb

Kui rombi külg on avaldis, tema kõrgus on avaldis ja tema diagonaalid on avaldis ja avaldis, siis tema ümbermõõt ja pindala on arvutatav järgmiste valemitega:

avaldis
avaldis
avaldis

Näide

Rombi külg on avaldis ja tema diagonaalid on avaldis ja avaldis. Leia rombi ümbermõõt, pindala ja kõrgus.

avaldis
avaldis
avaldis

Rombi kõrguse saan arvutada järgmisest seosest:

avaldis
avaldis

Avaldan rombi ruumala tundmatute avaldis ja avaldis kaudu

avaldis
Selgitus

Püramiidi ruumala

Püramiid nr. 1

Püramiid nr. 1

Kui püramiidi põhja pindala on avaldis ja püramiidi kõrgus on avaldis, siis püramiidi ruumala avaldis on arvutatav valemiga:

avaldis

Näide

Püramiidi põhja pindala on avaldis ja püramiidi kõrgus on avaldis. Leia püramiidi ruumala.

avaldis
Antud püramiidi põhja pindala kuju on just leitud avaldis ja püramiidi kõrgus pikkusega avaldis on ülesandes antud.
avaldis
Selgitus
Arvu teisendamisel murruks tuleb arvule murrujoon ja arv avaldis alla kirjutada.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Kuna ruumala on avaldis, siis saan võrrandi:

avaldis
Selgitus
Võrdustasin just leitud ruumala avaldise ülesandes antud ruumalaga avaldis.
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.

Saan süsteemi:

avaldis
Selgitus
Moodustasin kahest leitud võrrandist võrrandisüsteemi.

Avaldan esimesest võrrandist tundmatu avaldis

avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

Leian teisest võrrandist tundmatu avaldis

avaldis
Selgitus
Asendasin just leitud avaldis avaldise avaldis võrrandisüsteemi teise võrrandisse:
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Kuna lahend avaldis on võõrlahend, siis on diagonaali avaldis ainus sobiv väärtus:

avaldis
Selgitus
Rombi diagonaal ei saa olla negatiivne.

Leian rombi diagonaali avaldis

avaldis
Selgitus
Asendasin just leitud avaldis väärtuse avaldis eelnevalt leitud seosesse:
avaldis

Leian lõigu avaldis pikkuse

avaldis
Selgitus
Kuna rombi diagonaalid poolitavad teineteist, siis on lõigu avaldis pikkus pool diagonaali avaldis pikkusest.

Leian lõigu avaldis pikkuse

avaldis
Selgitus
Kuna rombi diagonaalid poolitavad teineteist, siis on lõigu avaldis pikkus pool diagonaali avaldis pikkusest.

Teen joonise täisnurksest kolmnurgast avaldis, et leida sealt rombi külg avaldis

Täisnurkne kolmnurk nr. 35

Täisnurkne kolmnurk nr. 35

Selgitus
Täisnurkse kolmnurga kaatetid avaldis pikkusega avaldis ja avaldis pikkusega avaldis on ülesandes eelnevalt leitud.
avaldis
Selgitus

Pythagorase teoreem

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

avaldis

Näited

1) Täisnurkse kolmnurga kaatetid on avaldis ja avaldis. Leia täisnurkse kolmnurga hüpotenuus.

avaldis
avaldis

2) Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on avaldis ja üks kaatetitest on avaldis. Leia täisnurkse kolmnurga teine kaatet.

avaldis
avaldis

Leian lõigu avaldis pikkuse

avaldis
Selgitus
Kuna kõrgus avaldis langeb lõigu avaldis keskpunkti, siis on lõigu avaldis pikkus pool lõigu avaldis pikkusest.

Teen joonise täisnurksest kolmnurgast avaldis, et leida sealt püramiidi lühema külgserva ja põhitahu vaheline nurk avaldis

Täisnurkne kolmnurk nr. 36

Täisnurkne kolmnurk nr. 36

Selgitus
Täisnurkse kolmnurga kaatet avaldis on püramiidi kõrgus pikkusega avaldis (ülesandes antud).Täisnurkse kolmnurga kaatet avaldis pikkusega avaldis on ülesandes just leitud.Täisnurkse kolmnurga teravnurk avaldis (nurk püramiidi lühema külgserva avaldis ja põhitahu vahel) on antud juhul otsitav tundmatu.
avaldis
Selgitus

Külgede ja nurkade vahelised trigonomeetrilised seosed

Täisnurkne kolmnurk

Täisnurkne kolmnurk

avaldis

Näited

1) Täisnurkse kolmnurga üks teravnurkadest on avaldis ja hüpotenuus on avaldis. Leia selle teravnurga vastaskaatet.

avaldis
avaldis

2) Leia täisnurkse kolmnurga teravnurk (täpsusega avaldis), kui tema vastaskaatet on avaldis ja lähiskaatet on avaldis.

avaldis
avaldis

Kui avaldis on välja arvutatud, siis avaldis leidmiseks tuleb kalkulaatoril vajutada järgmine klahvikombinatsioon:

avaldis
avaldis
Selgitus
Kui avaldis väärtus avaldis on teada, siis avaldis aitab leida kalkulaatoril järgmine klahvikombinatsioon:
avaldis

Vastus: Nurk püramiidi lühema külgserva ja põhitahu vahel on avaldis.