Ülesanne 7 (10p)

Võrdhaarse kolmnurga avaldis üks tipp on punktis avaldis, teine tipp avaldis asub sirgel avaldis ja kolmnurga aluse avaldis määrab vektor avaldis.
1. Arvutage punkti avaldis koordinaadid.
2. Koostage sirge avaldis võrrand.
3. Ringjoone diameeter on kolmnurga avaldis alus avaldis. Koostage selle ringjoone võrrand.
4. Arvutage punkti avaldis koordinaadid.

Vaata lahendust
1. Arvutan punkti avaldis koordinaadid
avaldis
avaldis
Selgitus
Vektori avaldis x-koordinaat näitab mitu sammu tuleb astuda x-telje suunas ja y-koordinaat näitab mitu sammu tuleb astuda y-telje suunas, et jõuda punktist avaldis punkti avaldis.Järelikult, punkti avaldis koordinaatide leidmiseks tuleb punkti avaldis koordinaatidele liita vektori avaldis koordinaadid.

Vastus: Punkt avaldis on avaldis.

2. Koostan sirge avaldis võrrandi
avaldis
Selgitus

Sirge võrrand kahe punkti abil

Punkte avaldis ja avaldis läbiva sirge võrrand on kujul:

avaldis

Näide

Leia sirge võrrand, mis läbib punkte avaldis ja avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Võrrandis avaldis võib liimeid vedada üle võrdusmärgi risti ülevalt alla ja alt üles. Antud juhul on eesmärk vabaneda murdudest. Selleks viin arvud avaldis ja avaldis risti alt üles.Sulud tekkisid avaldis ja avaldis ümber põhjusel, et tegurite avaldis ja avaldis üles viimisel tuleb arvuga avaldis ja avaldis korrutada terve avaldis ja avaldis ja seda rõhutatakse sulgudega.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.

Vastus: Sirge avaldis võrrand on avaldis.

3. Koostan ringjoone võrrandi, mille diameeter on kolmnurga avaldis alus avaldis

Leian ringjoone keskpunkti, ehk aluse avaldis keskpunkti

avaldis
avaldis
Selgitus

Lõigu poolitamine

Kui avaldis ja avaldis, siis lõigu avaldis keskpunkt avaldis arvutatakse järgmiselt:

avaldis

Näide

Leia lõigu avaldis keskpunkt, kui avaldis ja avaldis.

avaldis
avaldis

Leian ringjoone raadiuse vektori avaldis koordinaadid

avaldis
Selgitus

Vektori koordinaadid

Punktid avaldis ja avaldis määravad ära vektori:

avaldis

Näide

Leia vektori avaldis koordinaadid, kui avaldis ja avaldis.

avaldis

Leian ringjoone raadiuse vektori avaldis pikkuse

avaldis
Selgitus

Vektori pikkus

Vektori avaldis pikkus on arvutatav valemiga:

avaldis

Näide

Leia vektori avaldis pikkus.

avaldis

Leian ringjoone võrrandi

avaldis
Selgitus

Ringjoone võrrand

Kui ringjoone keskpunkt on avaldis ja ringjoone raadius on avaldis, siis on ringjoone võrrand kujul:

avaldis

Näide

Leia ringjoone võrrand, kui tema keskpunkt on avaldis ja raadius on avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
avaldis

Vastus: Ringjoone võrrand, mille diameeter on kolmnurga avaldis alus avaldis on avaldis.

4. Arvutan punkti avaldis koordinaadid

Tähistan punkti avaldis:

avaldis
Selgitus
Punkti avaldis koordinaadi tähistasin tundmatuga avaldis.Punkti avaldis koordinaat on avaldis, kuna ülesandes on öeldud, et kolmnurga tipp avaldis asub sirgel avaldis.

Leian võrdhaarse kolmnurga avaldis haarade avaldis ja avaldis vektorid

avaldis
avaldis
Selgitus

Vektori koordinaadid

Punktid avaldis ja avaldis määravad ära vektori:

avaldis

Näide

Leia vektori avaldis koordinaadid, kui avaldis ja avaldis.

avaldis

Leian võrdhaarse kolmnurga avaldis haarade avaldis ja avaldis pikkused

avaldis
avaldis
Selgitus

Vektori pikkus

Vektori avaldis pikkus on arvutatav valemiga:

avaldis

Näide

Leia vektori avaldis pikkus.

avaldis

Kuna avaldis, siis saan võrrandi:

avaldis
Selgitus
Võrdhaarse kolmnurga haarad on võrdsed.
avaldis
Selgitus
Võtsin võrrandi pooled ruutu.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.

Järelikult on punkt avaldis kujul:

avaldis
Selgitus
Antud alaulesande alguses tähistasin punkti avaldis järgmiselt:
avaldis
Võrrandi lahendamise teel sain, et avaldis väärtus on avaldis, järelikult on punkt avaldis kujul:
avaldis

Vastus: Punkt avaldis on avaldis.