Ülesanne 11 (10p)

Kasvava aritmeetilise jada kolmanda ja seitsmenda liikme summa on avaldis ning viienda ja neljanda liikme vahe on avaldis.
1. Arvutage selle jada üheksas liige ja esimese üheksa liikme summa.
2. Üks selle jada liige avaldis moodustab täpselt avaldis esimese avaldis liikme summast. Mitmes jada liige on avaldis?

Vaata lahendust
1. Leian selle jada üheksanda liikme ja esimese üheksa summa

Tähistan jada kolmanda, neljanda, viienda ja seistmenda liikme tundmatute avaldis (jada esimene liige) ja avaldis (jada vahe) kaudu järgmiselt:

avaldis
Selgitus
Jada kolmanda liikme saan, kui liidan jada esimesele liikmele avaldis juurde kahekordse jada vahe avaldis:
avaldis
Jada neljanda liikme saan, kui liidan jada esimesele liikmele avaldis juurde kolmekordse jada vahe avaldis:
avaldis
Jada viienda liikme saan, kui liidan jada esimesele liikmele avaldis juurde neljakordse jada vahe avaldis:
avaldis
Jada seitsmenda liikme saan, kui liidan jada esimesele liikmele avaldis juurde kuuekordse jada vahe avaldis:
avaldis

Kuna kolmanda ja seitsmenda liikme summa on avaldis, siis saan võrrandi:

avaldis
Selgitus
Kui liita jada kolmandale liikmele avaldis juurde seitsmenda liikme avaldis saame tulemuseks avaldis.
avaldis
Selgitus
Kui sulu ees on plussmärk, siis võib sulud lihtsalt eemaldada.
avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.

Kuna viienda ja neljanda liikme vahe on avaldis, siis saan võrrandi:

avaldis
Selgitus
Kui viiendast liikmest avaldis lahutada neljas liige avaldis saame tulemuseks avaldis.
avaldis
Selgitus
Kui sulu ees on plussmärk, siis võib sulud lihtsalt eemaldada.Kui sulu ees on miinusmärk, siis peab sulgude eemaldamiseks muutma kõik sulu sees olevad märgid.
avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Saan süsteemi:

avaldis
Selgitus
Moodustasin kahest leitud võrrandist võrrandisüsteemi.
avaldis
Selgitus
Asendasin teisest võrrandist tundmatu avaldis väärtuse avaldis esimesse võrrandisse:
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
avaldis

Leian selle jada üheksanda liikme

avaldis
Selgitus

Aritmeetilise jada üldliikme valem

avaldis

avaldis on jada üldliige järjekorra numbriga avaldis
avaldis on jada esimene liige
avaldis on aritmeetilise jada vahe
avaldis on jada liikme järjekorra number.

Näide

Leia aritmeetilise jada avaldis viiekümnes liige.

avaldis
avaldis

Leian selle jada esimese üheksa liikme summa

avaldis
Selgitus

Aritmeetilise jada esimese n-liikme summa valem 2

avaldis

avaldis on jada esimese avaldis liikme summa
avaldis on jada esimene liige
avaldis on aritmeetilise jada vahe
avaldis on jada liikme järjekorra number.

Näide

Leia aritmeetilise jada avaldis kolmekümneühe esimese liikme summa.

avaldis
avaldis

Vastus: Selle jada üheksas liige on avaldis ja esimese üheksa liikme summa on avaldis.

2. Üks selle jada liige avaldis moodustab täpselt avaldis esimese avaldis liikme summast. Mitmes jada liige on avaldis?

Jada esimene liige avaldis ja jada vahe avaldis on eelmises alaülesandes leitud:

avaldis
Selgitus
Eelmises alaülesandes leitud avaldis väärtust avaldis ja avaldis väärtust avaldis on võimalik kasutada ka antud alaülesandes.

Tähistan liikme, mille korral selle jada liige avaldis moodustab täpselt avaldis esimese avaldis liikme summast tundmatuga avaldis.

Selgitus
Tähistasin otsitava tundmatuga avaldis.

Leian selle jada liikme avaldis otsitava tundmatu avaldis kaudu

avaldis
Selgitus

Aritmeetilise jada üldliikme valem

avaldis

avaldis on jada üldliige järjekorra numbriga avaldis
avaldis on jada esimene liige
avaldis on aritmeetilise jada vahe
avaldis on jada liikme järjekorra number.

Näide

Leia aritmeetilise jada avaldis viiekümnes liige.

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis

Leian selle jada esimese avaldis liikme summa otsitava tundmatu avaldis kaudu

avaldis
Selgitus

Aritmeetilise jada esimese n-liikme summa valem 2

avaldis

avaldis on jada esimese avaldis liikme summa
avaldis on jada esimene liige
avaldis on aritmeetilise jada vahe
avaldis on jada liikme järjekorra number.

Näide

Leia aritmeetilise jada avaldis kolmekümneühe esimese liikme summa.

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Kuna liige avaldis moodustab esimese avaldis liikme summast avaldis, siis saan võrrandi:

avaldis
Selgitus

Protsendi leidmine arvust

Protsendi leidmiseks arvust tuleb teisendada protsent kümnendmurruks jagades protsendi arvuga avaldis ja seejärel korrutatakse see arv leitud kümnendmurruga.

Näide

Leia avaldis arvust avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Asendasin eelmisse seosesse eelnevalt leitud seosed:
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib korrutada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi korrutades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul korrutasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Võrrandi ab=0 lahendamine

avaldis

Näide

avaldis

Antud võrrandit võib lahendada kahe järgmise võrrandi eraldi lahendamise teel.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Pole midagi lahendada. Võrrandi esimene lahend on leitud.
avaldis
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

Kuna võrrandi lahend avaldis on võõrlahend, siis on ainus sobiv lahend:

avaldis
Selgitus
Jada liikmed algavad järjekorra numbrist avaldis.

Vastus: Jada liige avaldis on jada avaldis. liige.

Selgitus
Tähistasin liikme, mille korral jada liige avaldis moodustab selle jada esimese avaldis liikme summast avaldis tundmatuga avaldis.