Ülesanne 12 (10p)

Koonust on lõigatud koonuse tippu läbiva tasandiga, mis moodustab koonuse põhjaga nurga avaldis ja eraldab põhja ringjoonest avaldis kaare. Koonuse põhja pindala on avaldis.
1. Tehke ülesande teksti illustreeriv joonis.
2. Arvutage lõike pindala täpne väärtus.

Vaata lahendust
1. Teen ülesande teksti illustreeriva joonise
Koonus koos lõiketasandiga

Koonus koos lõiketasandiga

Selgitus
Koonuse lõiketasand moodustab põhjaga avaldis nurga (ülesandes antud).Koonuse lõiketasand eraldab põhja ringjoonest kaare avaldis nurga (ülesandes antud).Koonuse kõrguse tähistasin tundmatuga avaldis.Koonuse lõiketasandi poolt eraldatud põhja ringjoonest eraldatud sektorist on võimalik tekitada võrdhaarne kolmnurk, mille haarad on võrdsed koonuse põhja raadiusega avaldis ja mille alus on selle ringjoone kõõl avaldis.Koonuse lõiketasand on võrdhaarne kolmnurk , mille haarad ühtivad koonuse moodustajatega avaldis ja mille alus on põhja ringjoone kõõl avaldis.
2. Arvutan lõike pindala täpse väärtuse

Leian koonuse põhja raadiuse

avaldis
Selgitus

Ringjoon

Ringjoon

Ringjoon

Kui ringjoone raadius on avaldis, siis selle ringjoone pikkus avaldis ja ringi pindala avaldis on arvutatav järgmiste valemite abil:

avaldis
avaldis
avaldis

Näide

Ringjoone raadius on avaldis. Leia selle ringjoone pikkus ja ringi pindala.

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus

Kuna avaldis on võõrlahend, siis on ainus sobiv põhja raadiuse väärtus:

avaldis
Selgitus
Koonuse põhja raadius ei saa olla negatiivne.
avaldis
Selgitus

Teen joonise koonuse põhjast koos lõike tasandi poolt eraldatud sektorist lõigatud võrdhaarse kolmnurgaga

Koonuse põhi

Koonuse põhi

Selgitus
Kandsin koonuse põhja joonisele just leitud põhja raadiuse väärtuse avaldis.

Lõikan antud joonisel olevast võrdhaarsest kolmnurgast välja sobiva täisnurkse kolmnurga, et leida sealt selle kolmnurga alus avaldis

Täisnurkne kolmnurk nr. 83

Täisnurkne kolmnurk nr. 83

Selgitus
Antud täisnurkse kolmnurga tipunurk avaldis on pool eelmise kolmnurga tipunurgast avaldis.Antud täisnurkse kolmnurga kaatet pikkusega avaldis on pool eelmise kolmnurga alusest avaldis.
avaldis
Selgitus

Külgede ja nurkade vahelised trigonomeetrilised seosed

Täisnurkne kolmnurk

Täisnurkne kolmnurk

avaldis

Näited

1) Täisnurkse kolmnurga üks teravnurkadest on avaldis ja hüpotenuus on avaldis. Leia selle teravnurga vastaskaatet.

avaldis
avaldis

2) Leia täisnurkse kolmnurga teravnurk (täpsusega avaldis), kui tema vastaskaatet on avaldis ja lähiskaatet on avaldis.

avaldis
avaldis

Kui avaldis on välja arvutatud, siis avaldis leidmiseks tuleb kalkulaatoril vajutada järgmine klahvikombinatsioon:

avaldis
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib vahetada

avaldis

Näide

Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
Võrrandis avaldis võib liimeid vedada üle võrdusmärgi risti ülevalt alla ja alt üles. Antud juhul on eesmärk avaldada tundmatu avaldis. Selleks viisin arvu avaldis risti alt üles.
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib korrutada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi korrutades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul korrutasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.

Konstrueerin sama täisnurkse kolmnurga uute andmetega, et leida sealt koonuse põhjal olevast sektorist eraldatud kolmnurga kõrgus avaldis

Täisnurkne kolmnurk nr. 84

Täisnurkne kolmnurk nr. 84

Selgitus
Antud täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on koonuse põhja raadius avaldis.Antud täisnurkse kolmnurga üks kaatet on lõigu avaldis pikkus avaldis.Antud täisnurkse kolmnurga teine kaatet on koonuse põhjal olevast sektorist eraldatud kolmnurga kõrgus, mille tähistasin tundmatuga avaldis.
avaldis
Selgitus

Pythagorase teoreem

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

avaldis

Näited

1) Täisnurkse kolmnurga kaatetid on avaldis ja avaldis. Leia täisnurkse kolmnurga hüpotenuus.

avaldis
avaldis

2) Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on avaldis ja üks kaatetitest on avaldis. Leia täisnurkse kolmnurga teine kaatet.

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis

Konstrieerin täisnurkse kolmnurga, et leida sealt koonuse kõrgus avaldis

Täisnurkne kolmnurk nr. 85

Täisnurkne kolmnurk nr. 85

Selgitus
Antud täisnurkse kolmnurga üks kaatet on koonuse kõrgus avaldis.Antud täisnurkse kolmnurga teine kaatet on koonuse põhjal olevast sektorist eraldatud kolmnurga kõrgus avaldis.Joonisel näidatud nurk avaldis on nurk lõike ja koonuse põhja vahel (ülesandes antud).
avaldis
Selgitus

Külgede ja nurkade vahelised trigonomeetrilised seosed

Täisnurkne kolmnurk

Täisnurkne kolmnurk

avaldis

Näited

1) Täisnurkse kolmnurga üks teravnurkadest on avaldis ja hüpotenuus on avaldis. Leia selle teravnurga vastaskaatet.

avaldis
avaldis

2) Leia täisnurkse kolmnurga teravnurk (täpsusega avaldis), kui tema vastaskaatet on avaldis ja lähiskaatet on avaldis.

avaldis
avaldis

Kui avaldis on välja arvutatud, siis avaldis leidmiseks tuleb kalkulaatoril vajutada järgmine klahvikombinatsioon:

avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
Kui kehtib seos avaldis, siis kehtib ka seos avaldis.

Konstrieerin täisnurkse kolmnurga, et leida sealt koonuse moodustaja avaldis

Täisnurkne kolmnurk nr. 86

Täisnurkne kolmnurk nr. 86

Selgitus
Antud täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on koonuse moodustaja avaldis.Antud täisnurkse kolmnurga üks kaatet on koonuse kõrgus pikkusega avaldis.Antud täisnurkse kolmnurga teine kaatet on koonuse põhja raadius pikkusega avaldis.
avaldis
Selgitus

Pythagorase teoreem

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

avaldis

Näited

1) Täisnurkse kolmnurga kaatetid on avaldis ja avaldis. Leia täisnurkse kolmnurga hüpotenuus.

avaldis
avaldis

2) Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on avaldis ja üks kaatetitest on avaldis. Leia täisnurkse kolmnurga teine kaatet.

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus

Teen joonise koonuse lõikest, mille pindala on ülesandes küsitud

Võrdhaarne kolmnurk nr. 2

Võrdhaarne kolmnurk nr. 2

Selgitus
Antud võrdhaarse kolmnurga haarad on koonuse moodustajad pikkusega avaldis.Antud võrdhaarse kolmnurga alus on koonuse põhjal oleva sektori kõõl avaldis pikkusega avaldis.

Lõikan antud võrdhaarsest kolmnurgast välja täisnurkse kolmnurga, et leida sealt antud kolmnurga kõrgus avaldis

Täisnurkne kolmnurk nr. 87

Täisnurkne kolmnurk nr. 87

Selgitus
Antud täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on eelmisel joonisel oleva võrdhaarse kolmnurga haar pikkusega avaldis.Antud täisnurkse kolmnurga üks kaatet on eelmisel joonisel oleva võrdhaarse kolmnurga alusest avaldis korda lühem lõik, pikkusega avaldis.Antud täisnurkse kolmnurga teine kaatet on eelmisel joonisel oleva võrdhaarse kolmnurga kõrgus, mille tähistasin tundmatuga avaldis.
avaldis
Selgitus

Pythagorase teoreem

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

avaldis

Näited

1) Täisnurkse kolmnurga kaatetid on avaldis ja avaldis. Leia täisnurkse kolmnurga hüpotenuus.

avaldis
avaldis

2) Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on avaldis ja üks kaatetitest on avaldis. Leia täisnurkse kolmnurga teine kaatet.

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus

Kannan lõike joonisele tema kõrguse ja leian lõike pindala

Võrdhaarne kolmnurk nr. 3

Võrdhaarne kolmnurk nr. 3

Selgitus
Antud võrdhaarse kolmnurga alus on koonuse põhjal oleva sektori kõõl avaldis pikkusega avaldis.Antud võrdhaarse kolmnurga kõrgus pikkusega avaldis on ülesandes just leitud.
avaldis
Selgitus

Kolmnurk

Kolmnurk

Kolmnurk

Kui kolmnurga alus on avaldis ja temale tõmmatud kõrgus on avaldis, siis tema pindala arvutatakse järgmise valemiga:

avaldis

Näide

Kolmnurga alus on avaldis ja temale tõmmatud kõrgus on avaldis. Leia selle kolmnurga pindala.

avaldis
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus

Vastus: Lõike täpne pindala on avaldis.