Ülesanne 5 (10p)

1. Lahendage võrratus avaldis.
2. Kas võrrandil avaldis on lahendeid, mis kuuluvad alaülesandes avaldis antud võrratuse lahendite piirkonda? Põhjendage oma vastust.

Vaata lahendust
1. Lahendan võrratuse
avaldis
avaldis
Selgitus

Võrratuse korrutise ja jagatise samaväärsus

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Näited

1) Võrratus avaldis on samaväärne võrratusega avaldis.
2) Võrrtus avaldis on samaväärne võrratusega avaldis, kui on täidetud lisatingimus avaldis.

Leian võrratuse nullkohad

avaldis
Selgitus
Võrratuse nullkohtade leidmiseks asendatakse võrratuse märk võrdusmärgiga.

Antud võrrandi lahendamiseks on vaja lahendada kolm järgmist võrrandit:

avaldis
Selgitus

Võrrandi ab=0 lahendamine

avaldis

Näide

avaldis

Antud võrrandit võib lahendada kahe järgmise võrrandi eraldi lahendamise teel.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Tundmatu avaldis ruut on võrdne arvuga avaldis vaid siis kui tundmatu avaldis väärtus on avaldis.
avaldis
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

Joonis 58

Joonis 58

Selgitus
Kui nullkohad on leitud, siis antud joonis tehakse järgmiste põhimõtete järgi:

1) Kantakse nullkohad kasvavas järjekorras arvteljele.
2) Valitakse suvaline piirkond ja kontrollitakse suvalise arvuga, sellest piirkonnast, kas selles piirkonnas on funktsiooni väärtus positiivne või negatiivne. Vastavalt sellele tõmmatakse joon kas alla või ülespoole telge.
3) Seejärel veetakse joon nullkohani ja sõltuvalt sellest kas antud nullkoht on paaris- või paaritu arvulise kordsusega, põrgatakse nullkohast tagasi või läbitakse telg, kuni kõik nullkohad on läbitud.

Antud joonise teen järgmiste põhimõtete järgi:

1) Kannan nullkohad avaldis, avaldis ja avaldis kasvavas järjekorras arvkiirele.
2) Vaatlen kõige parempoolset piirkonda, kontrollides arvuga avaldis, kas seal piirkonnas on funktsioon positiivne või negatiivne.

avaldis

Järelikult hakkan joont vedama ülevalt poolt telge.
3) Kuna nullkohad avaldis ja avaldis on ühekordsed, siis neid nullkohti joon läbib ja lahend avaldis on kahekordne, siis sellest nullkohast põrkab joon tagasi.

Selgitatud kuju lahendite kordsusest:
avaldis

Vastus: avaldis.

Selgitus
Kuna võrratuse märk on avaldis, siis loen vastusesse kõik punktid, mis jäävad teljest allapoole ja telje peale.Kuna telje peal olevad punktid loetakse ka antud juhul vastusesse, siis ei ole vaja vastust antud juhul kahte ossa jagada vaid võib lugeda vastuseks lõigu mis algab arvust avaldis ja lõpeb arvuga avaldis.Võrratuse märgi avaldis korral peab lugema vastusesse ka kõik telje peal olevad otspunktid (seda näidatakse sissepoole sulgudega), kuid otspunkti avaldis on väljaarvatud eelpool märgitud tingimuse tõttu (sel põhjusel antud otspunkti juures sulg väljapoole):
avaldis
2. Uurin kas võrrandil avaldis on lahendeid, mis kuuluvad alaülesandes avaldis antud võrratuse lahendite piirkonda

Lahendan võrrandi

avaldis
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
Antud juhul kasutasin valemit paremalt vasakule.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
Logaritmi definitsiooni põhjal:
avaldis
Võrduse poolte vahetamisel saame kuju:
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus
Kui kehtib seos avaldis, siis kehtib ka seos avaldis.
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Kuna lahend avaldis on võõrlahend, siis on antud võrrandi ainus lahend:

avaldis
Selgitus
Kui asendada lahend avaldis algsesse võrrandisse:
avaldis
Siis võime veenduda, et tekib negatiivne logaritmitav, mida pole võimalik välja arvutada:
avaldis

Kontrollin lahendit avaldis:

avaldis
Selgitus
Asendasin lahendi avaldis algsesse võrrandisse:
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus
Logaritmi definitsiooni põhjal:
avaldis
avaldis
Selgitus
Antud juhul kasutasin valemit paremalt vasakule.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis

Vastus: Antud võrrandil on üks lahend, mis kuulub alaülesandes avaldis antud võrratuse lahendite piirkonda.

Selgitus
Alaülesandes avaldis antud võrratuse piirkond:
avaldis
Piirkond algab arvust avaldis (otspunkt avaldis on väljaarvatud) kuni arvuni avaldis (arv avaldis on kaasa arvatud).Järelikult lahend avaldis on antud piirkonnas.