Ülesanne 8 (10p)

Rombi avaldis diagonaal avaldis asub sirgel avaldis. Rombi tipp avaldis asub avaldis teljel ja avaldis.
1. Koostage sirge võrrand, millel asub rombi teine diagonaal avaldis.
2. Arvutage rombi avaldis kõrgus ja pindala.

Vaata lahendust
1. Koostan sirge võrrandi, millel asub rombi teine diagonaal avaldis

Leian punkti avaldis koordinaadi

avaldis
Selgitus
Kuna punkt avaldis asub avaldis teljel, siis punkti avaldis koordinaat on avaldis.

Leian punkti avaldis koordinaadi

avaldis
Selgitus
Kuna punkt avaldis asub sirgel avaldis ja punkti avaldis koordinaat on avaldis, siis punkti avaldis koordinaadi arvutamiseks on vaja avaldis väärtus avaldis asendada sirge võrrandisse:
avaldis

Järelikult on punkt avaldis kujul:

avaldis
Selgitus
Punkti avaldis koordinaat on esimesel ja avaldis koordinaat teisel kohal.

Leian punkti avaldis

avaldis
Selgitus
Punkt avaldis on kujul avaldis ja vektor avaldis on kujul avaldis.Vektori avaldis koordinaat näitab mitu sammu tuleb liikuda avaldis telje suunas ja vektori avaldis koordinaat näitab mitu sammu tuleb astuda avaldis telje suunas, et jõuda alguspunktist lõpp-punkti. Järelikult on punkti avaldis leidmiseks vaja punkti avaldis koordinaatidele juurde liita vektori avaldis koordinaadid.Punkti avaldis koordinaadi arvutamine:
avaldis
Punkti avaldis koordinaadi arvutamine:
avaldis
Järelikult on punkt avaldis kujul:
avaldis

Leian diagonaali avaldis tõusu

avaldis
Selgitus

Sirge tõusu leidmine, kui on teada sirge võrrand

Kui sirge võrrand on kujul avaldis, siis sirge tõus on lineaarliikme avaldis kordaja:

avaldis

Näide

Leia sirge avaldis tõus.

avaldis
avaldis
avaldis

Leian diagonaali avaldis tõusu

avaldis
Selgitus
Rombi diagonaalid on omavahel risti.

Ristuvate sirgete omadus

Ristuvate sirgete vahel kehtib seos:

avaldis

Näide

Leia sirgega avaldis risti oleva sirge tõus.

Leian antud sirge tõusu

avaldis
avaldis
avaldis

Järelikult temaga risti oleva sirge tõus on:

avaldis

Leian diagonaali avaldis võrrandi

avaldis
Selgitus

Sirge võrrand ühe punkti ja sirge tõusu abil

Kui sirge läbib punkti avaldis ja tema tõus on avaldis, siis selle sirge võrrand on kujul:

avaldis

Näide

Leia sirge võrrand, kui ta läbib punkti avaldis ja tema tõus on avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib korrutada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi korrutades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul korrutasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.

Vastus: Rombi diagonaali avaldis võrrand on avaldis.

2. Arvutan rombi avaldis kõrguse ja pindala

Leian rombi diagonaalide avaldis ja avaldis lõikepunkti avaldis (rombi diagonaalide lõikepunkt)

avaldis
Selgitus
Kahe sirge lõikepunkti leidmiseks on vaja lahendada nende sirgete võrranditest moodustatud võrrandisüsteem.
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib korrutada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi korrutades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul korrutasin võrrandisüsteemi teise võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus
Liitsin ülevalt alla tundmatud avaldis:
avaldis
Liitsin ülevalt alla tundmatud avaldis (avaldis korral koondus avaldis välja):
avaldis
Liitsin ülevalt alla arvud (avaldis korral koondusid arvud välja):
avaldis
avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus
Asendasin just leitud avaldis väärtuse avaldis võrrandisüsteemi võrrandisse:
avaldis
avaldis
Selgitus

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

avaldis
Selgitus

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Antud juhul jagasin võrrandi pooli läbi arvuga avaldis.

Järelikult on rombi diagonaalide lõikepunkt kujul:

avaldis
Selgitus
Punkti avaldis koordinaat on esimesel ja avaldis koordinaat teisel kohal.

Leian vektori avaldis koordinaadid

avaldis
Selgitus

Vektori koordinaadid

Punktid avaldis ja avaldis määravad ära vektori:

avaldis

Näide

Leia vektori avaldis koordinaadid, kui avaldis ja avaldis.

avaldis

Leian vektori avaldis koordinaadid

avaldis
Selgitus

Vektori koordinaadid

Punktid avaldis ja avaldis määravad ära vektori:

avaldis

Näide

Leia vektori avaldis koordinaadid, kui avaldis ja avaldis.

avaldis

Leian vektori avaldis pikkuse

avaldis
Selgitus

Vektori pikkus

Vektori avaldis pikkus on arvutatav valemiga:

avaldis

Näide

Leia vektori avaldis pikkus.

avaldis
avaldis
Selgitus

Leian vektori avaldis pikkuse

avaldis
Selgitus

Vektori pikkus

Vektori avaldis pikkus on arvutatav valemiga:

avaldis

Näide

Leia vektori avaldis pikkus.

avaldis
avaldis
Selgitus

Leian diagonaali avaldis pikkuse

avaldis
Selgitus
Diagonaali avaldis pikkuse leidmiseks on vaja vektori avaldis pikkus (pool diagonaalist) korrutada arvuga avaldis.

Leian diagonaali avaldis pikkuse

avaldis
Selgitus
Diagonaali avaldis pikkuse leidmiseks on vaja vektori avaldis pikkus (pool diagonaalist) korrutada arvuga avaldis.

Leian rombi pindala

avaldis
Selgitus

Romb

Romb

Romb

Kui rombi külg on avaldis, tema kõrgus on avaldis ja tema diagonaalid on avaldis ja avaldis, siis tema ümbermõõt ja pindala on arvutatav järgmiste valemitega:

avaldis
avaldis
avaldis

Näide

Rombi külg on avaldis ja tema diagonaalid on avaldis ja avaldis. Leia rombi ümbermõõt, pindala ja kõrgus.

avaldis
avaldis
avaldis

Rombi kõrguse saan arvutada järgmisest seosest:

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

avaldis
Selgitus
avaldis
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus
avaldis

Leian rombi küljevektori avaldis pikkuse

avaldis
Selgitus

Vektori pikkus

Vektori avaldis pikkus on arvutatav valemiga:

avaldis

Näide

Leia vektori avaldis pikkus.

avaldis

Leian rombi kõrguse avaldis

avaldis
Selgitus

Romb

Romb

Romb

Kui rombi külg on avaldis, tema kõrgus on avaldis ja tema diagonaalid on avaldis ja avaldis, siis tema ümbermõõt ja pindala on arvutatav järgmiste valemitega:

avaldis
avaldis
avaldis

Näide

Rombi külg on avaldis ja tema diagonaalid on avaldis ja avaldis. Leia rombi ümbermõõt, pindala ja kõrgus.

avaldis
avaldis
avaldis

Rombi kõrguse saan arvutada järgmisest seosest:

avaldis
avaldis
avaldis
Selgitus
Kui kehtib seos avaldis, siis kehtib ka seos avaldis.
avaldis
Selgitus

Murru laiendamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi korrutada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näide

avaldis

Antud näites korrutasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

Antud juhul korrutasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.
avaldis
Selgitus
avaldis
Selgitus

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Vastus: Rombi kõrgus on avaldis ühikut ja rombi pindala on avaldis pindala ühikut.