Integreerimise põhivalemid

Integraal konstandist

avaldis

Näited

avaldis
avaldis

Integraal astmefunktsioonist

avaldis

Näited

avaldis
avaldis

Integraal arvu 1 ja x ruudu jagatisest

avaldis

Integraal arvu 1 ja ruutjuur x jagatisest

avaldis

Integraal arvu 1 ja x jagatisest

avaldis

Integraal siinusest

avaldis

Integraal koosinusest

avaldis

Integraal arvu 1 ja koosinuse ruudu jagatisest

avaldis

Integraal arvust e astmes x

avaldis

Integraal eksponentfunktsioonist

avaldis

Näide

avaldis

Integraal arvu 1 ja ruutjuur 1 miinus x ruudu jagatisest

avaldis

Integraal arvu 1 ja 1 pluss x ruudu jagatisest

avaldis

Määratud integraal

Määratud integraali arvutamine

avaldis

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Kõvertrapetsi pindala

Kõvertrapetsi pindala joonest y=f(x) x-teljeni, ülevalt poolt x-telge

Kõvertrapets nr. 1

Kõvertrapets nr. 1

avaldis

Näide

Leia joonega avaldis ja x-teljega piiratud kujundi pindala.

Kõvertrapets nr. 2

Kõvertrapets nr. 2

avaldis
avaldis

Kõvertrapetsi pindala joonest y=f(x) x-teljeni, alt poolt x-telge

Kõvertrapets nr. 3

Kõvertrapets nr. 3

avaldis

Näide

Leia joontega avaldis, avaldis, avaldis ja x-teljega piiratud kujundi pindala.

Kõvertrapets nr. 4

Kõvertrapets nr. 4

avaldis
avaldis

Kahe joone vahelise pinnatüki pindala

Kõvertrapets nr. 5

Kõvertrapets nr. 5

avaldis

Näide

Leia joontega avaldis ja avaldis piiratud kujundi pindala.

Kõvertrapets nr. 6

Kõvertrapets nr. 6

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Ruumilised kujundid

Prisma

Prisma

Prisma

Kui prisma põhja ümbermõõt on avaldis, põhja pindala on avaldis ja prisma kõrgus on avaldis, siis prisma külgpindala avaldis, täispindala avaldis ja ruumala avaldis avalduvad järgmiste valemite abil:

avaldis
avaldis
avaldis

Näide

Viisnurkse prisma põhiservad on avaldis, avaldis, avaldis, avaldis ja avaldis. Leia prisma täispindala ja ruumala, kui selle prisma põhja pindala on avaldis ja prisma kõrgus on avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Kuup

Kuup

Kuup

Kui kuubi serv on avaldis, siis tema täispindala avaldis ja ruumala avaldis avalduvad järgmiste valemite abil:

avaldis
avaldis

Näide

Kuubi serv on avaldis. Leia kuubi täispindala ja ruumala.

avaldis
avaldis

Risttahukas

Risttahukas

Risttahukas

Kui risttahuka servad on avaldis, avaldis ja avaldis, siis risttahuka täispindala avaldis ja ruumala avaldis avalduvad järgmiste valemite abil:

avaldis
avaldis

Näide

Risttahuka servad on avaldis, avaldis ja avaldis. Leia risttahuka täispindala ja ruumala.

avaldis
avaldis

Püramiidi ruumala

Püramiid nr. 1

Püramiid nr. 1

Kui püramiidi põhja pindala on avaldis ja püramiidi kõrgus on avaldis, siis püramiidi ruumala avaldis on arvutatav valemiga:

avaldis

Näide

Püramiidi põhja pindala on avaldis ja püramiidi kõrgus on avaldis. Leia püramiidi ruumala.

avaldis

Korrapärase püramiidi pindalad

Püramiid nr. 2

Püramiid nr. 2

Kui korrapärase avaldis nurkse püramiidi põhiserv on avaldis, moodustaja(lõik püramiidi tipust põhiserva keskpunkti) on avaldis ja põhja apoteem(lõik püramiidi põhja keskpunktist põhiserva keskpunkti) on avaldis, siis selle püramiidi külgpindala avaldis ja täispindala avaldis avalduvad järgmiste valemite abil:

avaldis
avaldis

Näide

Korrapärase nelinurkse püramiidi põhiserv on avaldis, moodustaja on avaldis, kõrgus on avaldis ja põhja apoteem avaldis. Leia püramiidi täispindala ja ruumala.

avaldis
avaldis

Püramiidi põhjaga paralleelsete lõigete omadused

Omadus 1: Püramiidi põhjaga paralleelne lõige on põhjaga saranane hulknurk ehk tema põhja ja parallelse lõike vastavate külgede jagatised on võrdsed:

avaldis
Püramiid ja tema põhjaga paralleelne lõige nr. 1

Püramiid ja tema põhjaga paralleelne lõige nr. 1

Näide

Kolmnurkse püramiidi põhiservad on avaldis, avaldis ja avaldis. Põhjaga paralleelses lõikes on kõige pikem põhiserv avaldis. Leia selle lõike ülejäänud põhiservad.

Omadus 1 põhjal kirjutan välja ahelvõrrandi:

avaldis

Leian külje avaldis:

avaldis
avaldis

Leian külje avaldis:

avaldis
avaldis

Omadus 2: Püramiiidi põhja pindala ja põhjaga paralleelse lõike pindala suhtuvad nagu vastavate püramiidide kõrguste ruudud:

avaldis
Püramiid ja tema põhjaga paralleelne lõige nr. 2

Püramiid ja tema põhjaga paralleelne lõige nr. 2

Näide

Püramiidi põhja pindala on avaldis ja tema kõrgus on avaldis. Kui kaugel põhjast on põhjaga paralleelne lõige avaldis? Vastus anda täpsusega avaldis.

Omadus 2 põhjal kirjutan välja võrrandi ja leian sellest avaldis:

avaldis
avaldis
avaldis

Leian kaugel on küsitud põhjaga paralleelne lõige:

avaldis

Tüvipüramiidi ruumala

Tüvipüramiid nr. 1

Tüvipüramiid nr. 1

Kui tüvipüramiidi ühe põhja pindala on avaldis ja teise põhja pindala avaldis ning tüvipüramiidi kõrgus on avaldis, siis selle püramiidi ruumala avaldis on avaldatav valemiga:

avaldis

Näide

Tüvipüramiidi põhja pindalad on avaldis ja avaldis ja põhjade vaheline kaugus on avaldis. Leia tüvipüramiidi ruumala.

avaldis

Korrapärase tüvipüramiidi külgpindala

Tüvipüramiid nr. 2

Tüvipüramiid nr. 2

Kui korrapärase avaldis nurkse tüvipüramiidi põhiservad on avaldis ja avaldis ning moodustaja(lõik ühe põhiserva keskpunktist teise põhiserva keskpunkti) on avaldis, siis selle tüvipüramiidi külgpindala avaldis on avaldatav valemiga:

avaldis

Näide

Korrapärase tüvipüramiidi põhjadeks on korrapärased kaheksanurgad põhiservadega avaldis ja avaldis. Leia tüvipüramiidi külgpindala, kui tema moodustaja on avaldis.

avaldis

Silinder

Silinder

Silinder

Kui silindri raadius on avaldis ja silindri kõrgus on avaldis, siis silindri põhja pindala avaldis, külgpindala avaldis, täispindala avaldis ja ruumala avaldis avalduvad järgmiste valemite abil:

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Näide

Silindri raadius on avaldis ja kõrgus avaldis. Leia Silindri täispindala ja ruumala.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Koonus

Koonus

Koonus

Kui koonuse raadius on avaldis, koonuse kõrgus avaldis ja koonuse moodustaja(lõik koonuse tipust põhjani) on avaldis, siis koonuse põhja pindala avaldis, külgpindala avaldis, täispindala avaldis ja ruumala avaldis avalduvad järgmiste valemite abil:

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Näide

Koonuse raadius on avaldis, kõrgus on avaldis ja moodustaja on avaldis. Leia koonuse täispindala ja ruumala.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Tüvikoonus

Tüvikoonus

Tüvikoonus

Kui tüvikoonuse põhjade raadiused on avaldis ja avaldis ning tüvikoonuse kõrgus on avaldis ja moodustaja (lühim lõik ühe põhja äärest teise põhja ääreni) on avaldis, siis tüvikoonuse põhja pindalad avaldis ja avaldis, külgpindala (avaldis), täispindala (avaldis) ja ruumala avaldis on avaldatavad järgmiste valemite abil:

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Näide

Tüvikoonuse põhja raadiused on avaldis ja avaldis, kõrgus on avaldis ja moodustaja on avaldis. Leia selle tüvikoonuse põhjapindalad, külgpindala, täispindala ja ruumala.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Kera

Kera

Kera

Kui kera raadius on avaldis, siis kera pindala avaldis ja ruumala avaldis avalduvad järgmiste valemite abil:

avaldis
avaldis

Näide

Kera raadius on avaldis. Leia kera pindala ja ruumala.

avaldis
avaldis

Vektor ruumis

Vektori koordinaadid

Punktid avaldis ja avaldis määravad vektori:

avaldis

Näide

Leia vektori avaldis koordinaadid, kui otspunktid on avaldis ja avaldis.

avaldis

Vektori pikkus

Vektori avaldis pikkus on arvutatav valemiga:

avaldis

Näide

Leia vektori avaldis pikkus. Vastus andke täpsusega avaldis.

avaldis

Vektorite vaheline nurk

Vektorite avaldis ja avaldis vaheline teravnurk avaldis arvutatakse järgmise valemiga:

avaldis

Näide

Leia vektorite avaldis ja avaldis vaheline teravnurk. Vastus andke täpsusega avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis

Kui avaldis on välja arvutatud, siis avaldis leidmiseks tuleb kalkulaatoril vajutada järgmine klahvikombinatsioon:

avaldis

Vektorite kollineaarsus

Vektorid avaldis ja avaldis on kollineaarsed ehk samasihilised, kui on täidetud tingimus:

avaldis

Näide

Kas vektorid avaldis ja avaldis on kollineaarsed?

avaldis

Näide

Kas vektorid avaldis ja avaldis on kollineaarsed?

avaldis

Vektorite ristseis

Vektorid avaldis ja avaldis on risti, kui on täidetud tingimus:

avaldis

Näide

Kas vektorid avaldis ja avaldis on risti?

avaldis

Näide

Kas vektorid avaldis ja avaldis on risti?

avaldis

Vektorite komplanaarsus

Mittekollineaarsed vektorid avaldis ,avaldis ja avaldis on komplanaarsed, ehk samatasandilised, kui on täidetud tingimus:

avaldis

Näide

Kas vektorid avaldis, avaldis ja avaldis on komplanaarsed?

Determinant1

Determinant1

Järelikult vektorid avaldis, avaldis ja avaldis on komplanaarsed.

Näide

Kas vektorid avaldis, avaldis ja avaldis on komplanaarsed?

Determinant2

Determinant2

Järelikult vektorid avaldis, avaldis ja avaldis ei ole komplanaarsed.

Vektori korrutamine arvuga

Vektori avaldis korrutamisel arvuga avaldis saame vektori:

avaldis

Näide

Korruta vektorit avaldis arvuga avaldis.

avaldis

Vektorite liitmine

Vektorite avaldis ja avaldis summa vektor on:

avaldis

Näide

Liida vektorid avaldis ja avaldis

avaldis