Tehted murdudega

Murru taandamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näited

avaldis

Antud näites jagasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

avaldis

Antud näites jagasin arve avaldis ja avaldis läbi arvuga avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.
Antud näites jagasin avaldisi avaldis ja avaldis läbi avaldisega avaldis.

Murru laiendamine

Murru lugejat ja nimetajat võib läbi korrutada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

Näide

avaldis

Antud näites korrutasin murru lugejat ja nimetajat läbi arvuga avaldis.

Samanimeliste murdude liitmine

avaldis

Näited

avaldis
avaldis

Erinimeliste murdude liitmine, kui nimetajatel puuduvad ühised tegurid

avaldis

Näited

avaldis
avaldis

Erinimeliste murdude liitmine, kui nimetajatel leiduvad ühised tegurid

avaldis

Näited

avaldis
avaldis
avaldis

Samanimeliste murdude lahutamine

avaldis

Näited

avaldis
avaldis

Erinimeliste murdude lahutamine, kui nimetajatel puuduvad ühised tegurid

avaldis

Näited

avaldis
avaldis
avaldis

Erinimeliste murdude lahutamine, kui nimetajatel leiduvad ühised tegurid

avaldis

Näited

avaldis
avaldis
avaldis

Murdude korrutamine

avaldis

Näited

avaldis
avaldis
avaldis

Murru korrutamine arvuga

avaldis

Näited

avaldis
avaldis

Murdude jagamine

avaldis

Näited

avaldis
avaldis
avaldis

Murru jagamine arvuga

avaldis

Näited

avaldis
avaldis

Arvu jagamine murruga

avaldis

Näited

avaldis
avaldis

Protsent ja osa

Protsendi leidmine arvust

Protsendi leidmiseks arvust tuleb teisendada protsent kümnendmurruks jagades protsendi arvuga avaldis ja seejärel korrutatakse see arv leitud kümnendmurruga.

Näide

Leia avaldis arvust avaldis.

avaldis
avaldis

Osa leidmine arvust

Osa leidmiseks arvust tuleb arv korrutada temale vastava osamääraga.

Näide

Leia avaldis arvust avaldis.

avaldis

Terviku leidmine tema protsendi järgi

Tuleb teisendada protsent kümnendmurruks jagades protsendi arvuga avaldis ja seejärel jagatakse see arv leitud kümnendmurruga.

Näide

Leia arv, millest avaldis on avaldis.

avaldis
avaldis

Terviku leidmine tema osa järgi

Terviku leidmiseks tema osa järgi tuleb arv jagada temale vastava osamääraga.

Näide

Leia arv, millest avaldis on avaldis.

avaldis

Mitu protsenti moodustab arv a arvust b?

avaldis

Näide

Mitu protsenti moodustab arv avaldis arvust avaldis?

avaldis

Kui suure osa moodustab arv a arvust b?

Arvu avaldis osa arvust avaldis leidmiseks tuleb arv avaldis jagada arvuga avaldis kasutades murrujoont. Võimalusel tuleb ka taandada.

Näide

Kui suure osa moodustab arv avaldis arvust avaldis?

avaldis

Liikmete vahetamisega seotud reeglid

Liikmete vahetus lahutamise tehtes

Lahutamise tehtes liikmete vahetamisel märk muutub.

Näide

avaldis
avaldis

Liikmete vahetus liitmise tehtes

Liitmise tehtes liikmete vahetamisel jääb tulemus samaks.

Näide

avaldis
avaldis

Tehted astmetega

Astmete korrutamine

avaldis

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Astmete jagamine

avaldis

Näited

avaldis
avaldis
avaldis

Astme astendamine

avaldis

Näide

avaldis

Korrutise astendamine

avaldis

Näide

avaldis

Jagatise astendamine

avaldis

Näide

avaldis

Arvu negatiivne aste

avaldis

Näide

avaldis

Murru negatiivne aste

avaldis

Näited

avaldis
avaldis
avaldis

Arv astmes 0

avaldis

Näited

avaldis
avaldis

Tehted hulkliikmetega

Sarnaste liikmete koondamine

Üksliikmetel, mis erinevad vaid kordaja, ehk arvu poolest või ei erine üldse, võib kordajad liita või lahutada.

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Liikmete järjekorra muutmine

Liikmete järjekorda võib hulkliikmes muuta, kui iga liikme ette jääb sama märk.

Näide

Hulkliige avaldis on samaväärne hulkliikmega avaldis.

Sulgude avamine

Üksliikme korrutamine hulkliikmega

avaldis

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Hulkliikme jagamine üksliikmega

avaldis

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Hulkliikme korrutamine hulkliikmega

avaldis

Näited

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Summa ruut

avaldis

Näide

avaldis

Vahe ruut

avaldis

Näide

avaldis

Summa ja vahe korrutis

avaldis

Näited

avaldis
avaldis

Summa kuup

avaldis

Näide

avaldis
avaldis

Vahe kuup

avaldis

Näide

avaldis
avaldis

Kuupide summa

avaldis

Näide

avaldis
avaldis

Kuupide vahe

avaldis

Näide

avaldis
avaldis

Tegurdamine

Sulgude ette toomine

avaldis

Näited

avaldis
avaldis

Summa ruut

avaldis

Näited

avaldis
avaldis

Vahe ruut

avaldis

Näited

avaldis
avaldis

Ruutude vahe

avaldis

Näited

avaldis
avaldis

Ruutkolmliikme tegurdamine

avaldis

avaldis ja avaldis on ruutvõrrandi avaldis lahendid.

Näited

avaldis

avaldis ja avaldis on ruutvõrrandi avaldis lahendid.

avaldis

avaldis ja avaldis on ruutvõrrandi avaldis lahendid ja esimese sulu arvuga avaldis läbi korrutamisel saan tulemuseks:

avaldis

Kuupide summa

avaldis

Näide

avaldis

Kuupide vahe

avaldis

Näide

avaldis
avaldis

Summa kuup

avaldis

Näide

avaldis
avaldis
avaldis

Vahe kuup

avaldis

Näide

avaldis
avaldis

Võrrandite omadused

Võrrandite pooli võib vahetada

avaldis

Näide

Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

Võrrandite pooli võib korrutada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi korrutades samaväärne võrrandiga avaldis.

Võrrandite pooli võib jagada läbi suvalise nullist erineva arvuga

avaldis

Näide

Võrrand avaldis on arvuga avaldis läbi jagades samaväärne võrrandiga avaldis.

Liikmeid võib vedada üle võrdusmärgi, kui muuta liikme ees olev märk

avaldis
avaldis

Näited

1) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.
2) Võrrandid avaldis ja avaldis on samaväärsed.

Võrrandite lahendamine

Lineaarvõrrandi lahendamine

avaldis
avaldis

Näide

avaldis
avaldis

Lineaarliikmeta ruutvõrrandi lahendamine

avaldis
avaldis
avaldis

Näide

avaldis
avaldis
avaldis

Vabaliikmeta ruutvõrrandi lahendamine

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Näide

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Ruutvõrrandi lahendivalem

avaldis
avaldis

Näide

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Võrrandi ab=0 lahendamine

avaldis

Näide

avaldis

Antud võrrandit võib lahendada kahe järgmise võrrandi eraldi lahendamise teel.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Astmevõrrandi lahendamine, kui aste on paaritu arv

avaldis
avaldis

Näide

avaldis
avaldis

Astmevõrrandi lahendamine, kui aste on paaris arv

avaldis
avaldis

Näide

avaldis
avaldis

Murdvõrrandi lahendamine

avaldis
avaldis

Näide

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Kuna teine tingimus ütleb, et avaldis, siis on võrrandi ainus lahend:

avaldis

Täisnurksete kolmnurkade lahendamine

Pythagorase teoreem

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

avaldis

Näited

1) Täisnurkse kolmnurga kaatetid on avaldis ja avaldis. Leia täisnurkse kolmnurga hüpotenuus.

avaldis
avaldis

2) Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on avaldis ja üks kaatetitest on avaldis. Leia täisnurkse kolmnurga teine kaatet.

avaldis
avaldis

Külgede ja nurkade vahelised trigonomeetrilised seosed

Täisnurkne kolmnurk

Täisnurkne kolmnurk

avaldis

Näited

1) Täisnurkse kolmnurga üks teravnurkadest on avaldis ja hüpotenuus on avaldis. Leia selle teravnurga vastaskaatet.

avaldis
avaldis

2) Leia täisnurkse kolmnurga teravnurk (täpsusega avaldis), kui tema vastaskaatet on avaldis ja lähiskaatet on avaldis.

avaldis
avaldis

Kui avaldis on välja arvutatud, siis avaldis leidmiseks tuleb kalkulaatoril vajutada järgmine klahvikombinatsioon:

avaldis

Täisnurkse kolmnurga pindala

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

Täisnurkne kolmnurk nr. 15

avaldis

Näide

Täisnurkse kolmnurga kaatetid on avaldis ja avaldis. Leia selle kolmnurga pindala.

avaldis

Teoreem täisnurkse kolmnurga kaatetitest

Hüpotenuusile toetuv täisnurkne kolmnurk

Hüpotenuusile toetuv täisnurkne kolmnurk

avaldis
avaldis

Näide

Leia täisnurkse kolmnurga kaatet, kui sellele kaatetile vastav hüpotenuusi projektsioon on avaldis ja hüpotenuus ise on avaldis.

avaldis
avaldis
avaldis

Teoreem täisnurkse kolmnurga kõrgusest

Hüpotenuusile toetuv täisnurkne kolmnurk

Hüpotenuusile toetuv täisnurkne kolmnurk

avaldis

Näide

Täisnurkse kolmnurga kõrgusele joonestatud kõrgus on avaldis ja üks hüpotenuusi üks projektsioon on avaldis. Leia teine projektsioon.

avaldis
avaldis
avaldis

Kolmnurga pindalade võrdsusest tuletatud seos

Hüpotenuusile toetuv täisnurkne kolmnurk

Hüpotenuusile toetuv täisnurkne kolmnurk

avaldis

Näide

Täisnurkse kolmnurga kaatetid on avaldis ja avaldis. Leia hüpotenuusile tõmmatud kõrgus.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Seos täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi ja ümberringjoone raadiuse vahel

Täisnurkne kolmnurk ümberringjoonega

Täisnurkne kolmnurk ümberringjoonega

avaldis

avaldis on täisnurkse kolmnurga hüpotenuus ja avaldis on täisnurkse kolmnurga ümberringjoone raadius.

Näide

Täisnurkse kolmnurga kaatetid on avaldis ja avaldis. Leia Leia selle kolmnurga ümberringjoone raadius.

avaldis
avaldis
avaldis
avaldis
avaldis

Tasandiliste kujundite pindalad ja ümbermõõdud

Ruut

Ruut

Ruut

Kui ruudu külg on avaldis, siis tema ümbermõõt avaldis ja pindala avaldis on arvutatav valemitega:

avaldis
avaldis

Näide

Ruudu külg on avaldis. Leia selle ruudu ümbermõõt ja pindala.

avaldis
avaldis

Ristkülik

Ristkülik

Ristkülik

Kui ristküliku küljed on avaldis ja avaldis, siis tema ümbermõõt avaldis ja pindala avaldis on arvutatav järgmiste valemitega:

avaldis
avaldis

Näide

Ristküliku küljed on avaldis ja avaldis. Leia selle ristküliku ümbermõõt ja pindala.

avaldis
avaldis

Täisnurkne kolmnurk

Täisnurkne kolmnurk 2

Täisnurkne kolmnurk 2

Kui täisnurkse kolmnurga kaatetid on avaldis ja avaldis ning hüpotenuus on avaldis, siis tema ümbermõõt avaldis ja pindala avaldis arvutatakse järgmiste valemitega:

avaldis
avaldis

Näide

Täisnurkse kolmnurga küljed on avaldis; avaldis ja avaldis. Leia selle kolmnurga ümbermõõt ja pindala.

avaldis
avaldis

Kolmnurk

Kolmnurk

Kolmnurk

Kui kolmnurga alus on avaldis ja temale tõmmatud kõrgus on avaldis, siis tema pindala arvutatakse järgmise valemiga:

avaldis

Näide

Kolmnurga alus on avaldis ja temale tõmmatud kõrgus on avaldis. Leia selle kolmnurga pindala.

avaldis

Rööpkülik

Rööpkülik

Rööpkülik

Kui rööpküliku küljed on avaldis ja avaldis ning vastavatele külgdele tõmmatud kõrgused on avaldis ja avaldis, siis tema ümbermõõt ja pindala on arvutatav järgmiste valemitega:

avaldis
avaldis
avaldis

Näide

Rööpküliku küljed on avaldis ja avaldis ja pikemale küljele tõmmatud kõrgus on avaldis. Leia selle rööpküliku ümbermõõt, pindala ja lühemale küljele tõmmatud kõrgus.

avaldis
avaldis

Lühemale küljele tõmmatud kõrguse saan arvutada järgmisest seosest:

avaldis
avaldis

Romb

Romb

Romb

Kui rombi külg on avaldis, tema kõrgus on avaldis ja tema diagonaalid on avaldis ja avaldis, siis tema ümbermõõt ja pindala on arvutatav järgmiste valemitega:

avaldis
avaldis
avaldis

Näide

Rombi külg on avaldis ja tema diagonaalid on avaldis ja avaldis. Leia rombi ümbermõõt, pindala ja kõrgus.

avaldis
avaldis
avaldis

Rombi kõrguse saan arvutada järgmisest seosest:

avaldis
avaldis

Trapets

Trapets

Trapets

Kui trapetsi alused on avaldis ja avaldis ning haarad on avaldis ja avaldis ja tema kõrgus on avaldis, siis tema ümbermõõt ja pindala on arvutatav valemitega:

avaldis
avaldis

Näide

Võrdhaarse trapetsi alused on avaldis ja avaldis ning tema haar on avaldis ja kõrgus on avaldis. Leia selle trapetsi ümbermõõt ja pindala.

avaldis
avaldis
avaldis

Ringjoon

Ringjoon

Ringjoon

Kui ringjoone raadius on avaldis, siis selle ringjoone pikkus avaldis ja ringi pindala avaldis on arvutatav järgmiste valemite abil:

avaldis
avaldis
avaldis

Näide

Ringjoone raadius on avaldis. Leia selle ringjoone pikkus ja ringi pindala.

avaldis
avaldis